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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1976}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&4x^2 - 9 - (4x + 6)(3x - 1)\\
g(x)&=&(3x + 5)^2 - (x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer. réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Calculer $g\left(- \dfrac32 \right),\: g\left(- \dfrac74 \right)$ et $g\left(\sqrt 3\right)$.

Montrer que $g$ n'est pas une bijection.
\item Soit la fonction rationnelle $F$ définie par
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $F$.
		\item Dans $\mathcal{D}$, simplifier $F(x)$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :
\begin{center}$F(x) = 0$\quad et \quad $F(x) =- \dfrac23$\end{center}
\item Calculer $F\left(\sqrt 3\right)$.

Donner ce résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

(\textbf{N. B. -} Les parties A et B peuvent être traitées dans un ordre indifférent.)

Soit dans le plan euclidien $\mathcal{P}$, trois points A, B et C non alignés, O le milieu de (B, C), \: $(\Delta)$ la perpendiculaire en O à (BC) et $\left(\Delta'\right)$ la médiatrice de (A, C).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire un dessin.
\item Montrer que $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ sont sécantes.
\item Quelle propriété le point de concours de $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ possède-t-il relativement aux points A, B et C ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose de plus que dans le repère orthonormé \Oij{}  de $\mathcal{P}$, on a le point I tel que $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$, \: le point J tel que $\vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath}$ et que $\vect{\text{OC}}  = 3\vect{\imath}$, et $\vect{\text{OA}} = \vect{\imath}+ 4\vect{\jmath}$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire un dessin répondant aux conditions ainsi décrites.
		
(Ce dessin sera complété au cours des questions suivantes).
		\item Déterminer les coordonnées des points C, A et B.
	\end{enumerate}	
\item Soit $f$ l'application de $\R$ vers $\R$, telle que dans \Oij{}
 tout point M$(a~;~b)$ a pour image M$' = f$(M), avec M$'\left(a'~;~b'\right)$ et 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a'&=& - b + 1,\\
b'&=& - a + 1.
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de A$'$, B$'$ et C$'$ images respectives de A, B et C par $f$.
		\item Déterminer les points dont A, B et C sont les images 
par $f$.
		\item Montrer qu'une équation de (IJ) est $y = - x + 1$.
		
Soit N le milieu de (M, M$'$).

Montrer que les coordonnées de N sont $\left(\dfrac{a - b + 1}{2}~;~\dfrac{b - a + 1}{2}\right)$ et que N appartient à (IJ).
		\item Démontrer que $\vect{\text{MM}'} = (1 - a - b)\vect{\imath} + (1 - a - b)\vect{\jmath}$ et que $\vect{\text{MM}'}$  est orthogonal à $\vect{\text{IJ}}$.
		\item Déduire de d. et e. que $f$ est une isométrie de $\mathcal{P}$.
		
Quel nom donne-t-on à cette isométrie ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}