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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit l'application $f$, de $\R$ dans $\R$, définie par :

\[x \longmapsto f(x) = (7 - 2x)(3x + 5) - \left(49 - 4x^2\right)  + (7 - 2x)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$ , définie par:
\[x \longmapsto h(x) = \dfrac{(7 - 2x)(- x + 5)}{(2x - 7)(x + 1)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $h$, puis simplifier $h(x)$ .

On obtient $h'(x)$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $h'(x) = 2$.
\item Calculer $h'\left(\sqrt 3\right)$ (on donnera le résultat sous forme d'expression sans dénominateur).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Soit la fonction $g$ de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[x \longmapsto g(x) = ax^2 + bx- 3.\]

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour que l'on ait 
\[g(-1) = 0\qquad  et \qquad g(2) = - 3.\]

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\emph{Nota : Les deux exercices sont indépendants. Il sera tenu compte du soin apporté à la réalisation des figures.}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit un plan P muni d'un repère orthonormé \Oij. Placer les points : 
\begin{center}A(2~;~3)\:; B(6~;~5)\:; C$\left(-1~;~\dfrac32\right)$ \quad et \quad D$(9~;~-1)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.
\item Soit M le milieu de (A, D) et E le symétrique de B par rapport à M.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, D, E) ?

Calculer les coordonnées-du point E.
\item Déterminer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BDA}}$.

En déduire la valeur approchée à un degré près, par défaut, de cet écart angulaire.

On donne :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en degrés&30 &31 &32 &33&34 &35 \\ \hline
$\tan x$&0,577 &0,601 &0,625 &0,649& 0,675 &0,700\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Dans un plan euclidien, on considère un triangle (O, A, B) rectangle en O.

M est le milieu de (A, B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit R le symétrique de O par rapport à M ; quelle est la nature du quadruplet 

(O, A,  R, B) ?
\item Soit S le symétrique de O par rapport à la droite (AB).

Comparer la direction de la droite (AB) et celle de la droite (RS).
\item Montrer que les cinq points O, A, R, S et B appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre.
\end{enumerate}
\end{document}