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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression
\[f(x) = (2x - 1)(x + 1)- (3 - 6x)(x + 2).\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de deux
polynômes réduits du premier degré.
		\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item En utilisant la forme de $f(x)$ qui apparaît la plu commode, calculer
\[f(-1)\:;\quad f\left(\dfrac12\right)\:;\quad f\left(-\dfrac74\right)\:;\quad f\left(-\dfrac23\right)\:;\quad f\left(\sqrt 3\right).\]
	\end{enumerate}
\item Le propriétaire d'un terrain reçoit une note de la commune dont il dépend, l'avertissant que des modifications vont être apportées à son terrain, à cause de la construction d'une route.

Le terrain, préalablement rectangulaire, aura l'une de ses dimensions augmentée de 5 mètres et l'autre diminuée de 3 mètres selon le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.2,3)
\psframe(0.6,0)(4.4,2.6)
\psline[linestyle=dashed](4.4,2.6)(5.7,2.6)(5.7,0.6)(0.6,0.6)
\psline[linewidth=0.6pt](0,0)(5.8,0)
\psline[linewidth=0.6pt](5.5,0.6)(6,0.6)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.6,2.8)(4.4,2.8)\uput[u](2.5,2.8){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.4,2.8)(5.7,2.8)\uput[u](5.05,2.8){5~m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0)(0.3,2.6)\uput[l](0.3,1.3){$y$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.8,0)(5.8,0.6)\uput[r](5.8,0.3){3~m}
\end{pspicture}
\end{center}

À la réception de cette lettre, le propriétaire se réjouit en constatant que l'aire de son terrain se trouvera augmentée à cette opération.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle relation les dimensions initiales $x$ et $y$ doivent-elles vérifier pour qu'il en soit ainsi ?
		\item Donner au moins deux couples $(x,~y)$ de dimensions satisfaisant cette propriété.
		\item Si le terrain avait été carré, le propriétaire prétend qu'il n'aurait pas pu y gagner. A-t-il raison ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan $(P)$, ABCD est un parallélogramme non aplati.

\begin{description}
\item[ ] I est le milieu de (A, B).
\item[ ] E est le symétrique de C par rapport à I.
\item[ ] F est Je symétrique de D par rapport à I.
\item[ ] $t$ est la translation de vecteur $\vect{\text{DI}}$.
\item[ ] G est l'image de A par la translation $t$.
\item[ ] H est J'antécédent de B par cette translation.
\end{description}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure correspondant à ces donnée.
\item Que peut-on dire des points E, A et D ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On pose $\vect{\text{DC}} = \vect{\imath}$ et $\vect{\text{DA}} = \vect{\jmath}$.

$\left(\text{D},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath}\right)$ est maintenant un repère du plan $(P)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, donner (sans justifier) les coordonnées des points B, I et F.
\item Exprimer le vecteur $\vect{\text{IC}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

Donner les coordonnées, ou composantes, de $\vect{\text{IC}}$ dans cette base.
\item $f$ est l'application du plan $(P)$ dans lui-même qui, tout point $M(x~;~y)$, associe le point $M'(2 - x~;~- 1 - y)$. 

Dessiner l'image de chacun des points A, B, C et D par cette application.

Quelle est la nature de l'application $f$.
\item Si N est un point quelconque du plan $(P)$ de coordonnées $(u~;~v)$ et si N$'$ est l'image de N par l'application $f$, exprimer les coordonnées de N$'$ en
fonction de $u$ et $v$.
\item On suppose maintenant que $\left(\text{D},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath}\right)$ est un repère orthonormé du plan $(P)$.

Quelle est alors la nature du parallélogramme ABCD ?

Calculer dans ce cas la distance CE.
\end{enumerate}
\end{document}