\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rennes juin 1986},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1986}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres suivants. 

On demande les valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approchées.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
$25 - 5 \times 9 =$						&$\dfrac{18}{3}  + 6,1 =$\\
$\dfrac{10+5}{10-5} =$					&$\dfrac54 + \dfrac76  - \dfrac13 = $\\
$\dfrac74 : \dfrac16 = $				&$\left(7 - \dfrac{35}{5}\right)\left(\dfrac14 + \dfrac{3}{11}\right)= $\\
$\dfrac{3}{16}\left(\dfrac73 - 1\right) =$&$- 5^2 + 5 = $\\
$\dfrac{7^5}{7^3} = $					&$|2,5 - 3|  + |-5| =$\\
$\sqrt{\dfrac{64}{25}} =$				&$\sqrt{100 - 36} = $\\
$7\sqrt 3 + 2\sqrt{27} =$				&$(\left(5 - 3\sqrt 2\right)\left(5 + 3\sqrt 2\right) =$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les quatre droites d'équations :

\[
y = 3 - x;\quad y = \dfrac x2 - 1; \quad y = 3 ;\quad y = 2x\]

sont représentées dans le graphique  suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,3.8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none](0,0)(-2,-2)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{2}{2 x mul}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{4}{3 x sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{4}{3}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{4}{ x 2 div 1 sub}
\uput[l](2.,3.6){$\left(D_1\right)$}\uput[dl](-0.5,3.6){$\left(D_2\right)$}
\uput[d](4,3){$\left(D_3\right)$}\uput[ul](4,1){$\left(D_4\right)$}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O}\uput[u](4.6,0){$x$} \uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Compléter les phrases suivantes :

La droite $\left(D_1\right)$ a pour équation :

La droite $\left(D_2\right)$ a pour équation :

La droite $\left(D_3\right)$ a pour équation :

La droite $\left(D_4\right)$ a pour équation :

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle (ABC) avec AC $= 8$ \:;\quad AB $= 6,5$ ;\quad  BC $= 6$.

Placer le point I du segment [AB] tel que AI $= 2$.

\item Construire le point H projection orthogonale de I sur la droite (AC).

Construire le point P projection orthogonale de I sur la droite (BC).
\item Construire le cercle circonscrit au triangle (PIC). 

Le point H appartient-t-il à ce cercle ? Justifier la réponse.
\item Construire le point F symétrique de B par rapport à I.
\item Construire le point E tel que (BEFH) soit un parallélogramme.
\item Dans la figure ci-dessous on donne :

\begin{center} AB $= 13$ \:; \quad AH $= 12$\:; \quad  $\sin \widehat{\text{ACB}} = \dfrac45$.\end{center}

(AH) perpendiculaire à (BC).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BH.
		
Déterminer un encadrement de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ à un degré près.

On donne l'extrait de table ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
$\sin 66\degres = 0,914$ ; &$\sin 68\degres = 0,927$ ;\\ \hline
$\sin 67\degres = 0,921$ ; &$\sin 69\degres = 0,934$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Calculer AC et CH.
		\item La parallèle à la droite (AB) passant par H coupe la droite (AC) en K.
		
Calculer CK.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.7,0.2)(1.9,3.6)%BCA
\psline(1.9,3.6)(1.9,0.2)%AH
\psframe(1.9,0.2)(2.1,0.4)
\uput[u](1.9,3.6){A}\uput[l](0.2,0.2){B}\uput[dr](4.7,0.2){C}\uput[d](1.9,0.2){H} \uput[ul](1.05,1.9){13}\uput[r](1.9,1.9){12}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ par :

\[f(x)= (2x-3)^2 -(x-1)^2\:; \quad g(x)=(3x - 4)(x - 2)- (6x - 8)(x - 3).\]


\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Développer et réduire $f(x)$.
\item En utilisant les expressions de $f(x)$ et $g(x) $ qui vous semblent les mieux adaptées, résoudre dans $\R$ les équations :

\[g(x) = 0,\qquad  f(x) = g(x),\qquad f(x) = 3x^2.\]

\item Dans un plan muni d'un repère \Oij, on considère les droites $\left(D_1\right)$ et 
$\left(D_2\right)$ d'équations respectives:

\begin{center} $\left(D_1\right) : \quad y = -x + 4$\:; \qquad $\left(D_2\right): \quad y = 3x - 4$.\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Construire $\left(D_1\right)$ et 
$\left(D_2\right)$.
		\item $\left(D_1\right)$ coupe l'axe des abscisses en A et l'axe des ordonnées en B ; $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des abscisses G et l'axe des ordonnées en F. 
		
Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en K.

Calculer les coordonnées des points K, A, B, F, et G.
		\item Démontrer que $\vect{\text{FG}} = \dfrac23\vect{\text{FK}}$ et que la droite (BG) coupe le segment [AF] en son milieu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}