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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Donner l'écriture décimale des nombres suivants :

\[\np{0,05403} \times  10^8 ;\qquad  - 723,4 \times 10^{-5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fraction irréductible :

\[\dfrac54 - \dfrac 32 + \dfrac 76\:; \qquad 13 \times \dfrac{49}{45} \times \dfrac{72}{91}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour ses frais pharmaceutiques, un malade est remboursé à 75\,\% par la Sécurité sociale. 

La mutuelle lui rembourse les 80\,\% du reste.

Si les frais pharmaceutiques de ce malade s'élèvent à 274,60~F, quelle est la somme restant à sa charge ?

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Factoriser :

\[(3x - 2)^2 - (5x +7)(3x - 2).\]

Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[(3x - 2)^2 = (5x + 7)(3x - 2).\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC étant un triangle quelconque, on désigne par N le
milieu de [AC] et par I le milieu de la médiane [BN].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point J symétrique de I par rapport à N.

Évaluer le rapport : $\dfrac{\text{BI}}{\text{BJ}}$.
\item Démontrer que les droites (AI) et (JC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCDEFGH est un cube dont l'arête mesure 4~cm.

I est le milieu de [AF] et J est le milieu de [DE).

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(10,9.8)
\psframe(0.3,0.3)(6,6)
\psline(6,0.3)(8.8,3.3)(8.8,9)(6,6)%CHGB
\psline(8.8,9)(3.1,9)(0.3,6)%GFA
\psline[linestyle=dashed](1.7,7.5)(6,0.3)(1.7,1.8)(1.7,7.5)(0.3,0.3)(3.1,3.3)(3.1,9)%ICJIDEF
\psline[linestyle=dashed](3.1,3.3)(8.8,3.3)%EH
\uput[l](0.3,6){A} \uput[dr](6,6){B} \uput[d](6,0.3){C} \uput[d](0.3,0.3){D}
\uput[ur](3.1,3.3){E} \uput[u](3.1,9){F} \uput[ur](8.8,9){G} \uput[r](8.8,3.3){H}
\uput[ul](1.7,7.5){I} \uput[ul](1.7,1.8){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature du triangle IDC.

Calculer son aire.
\item Que représente la droite (IJ) pour la pyramide IJDC? 
\item Calculer le volume de la pyramide IJDC.

(On rappelle que : $V = \dfrac{B \times h}{3}$ ($B$ étant l'aire de la base et $h$ la hauteur.)
\end{enumerate}

\textbf{Problème}

\medskip

Pour fabriquer une série de pièces identiques, une entreprise a le choix entre trois machines : une machine simple notée A, une semi-automatique notée B et une automatique notée C.

Le coût de production de la série dépend de la machine choisie.

En effet :

Avant de mettre en route une machine, une préparation de celle-ci est nécessaire (mise au point, réglages). Cette préparation coûte :

\begin{itemize}
\item 100 F pour la machine A,
\item 400 F pour la machine B,
\item \np{1200}~F pour la machine C.
\end{itemize}

À ce coût de préparation s'ajoute un coût de fabrication (matière première, fonctionnement de la machine et main- d'œuvre) :

\begin{itemize}
\item de 15~F par pièce pour la machine A,
\item de 9 F par pièce pour la machine B,
\item de 7 F par pièce pour la machine C.
\end{itemize}

Ainsi, pour une série de $x$ pièces fabriquées par la machine A, le coût de production en francs de la série est :

\[f(x) = 15x + 100.\]

\begin{enumerate}
\item Exprimer de la même manière les coûts de production $g(x)$ et $h(x)$ d'une série de $x$ pièces fabriquées respectivement par les machines B et C.
\item Calculer $f(100)$ et $f(300)$.

Sur une feuille de papier millimétré (schéma ci-après), on a déjà représenté les applications $g$ ($D_2$ en bleu) et $h$ ($D_3$ en rouge).

\begin{center}
\psset{xunit=0.02cm,yunit=0.0015cm}
\begin{pspicture}(-30,-300)(500,7200)
\multido{\n=0+20}{26}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,7200)}
\multido{\n=0+200}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(500,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(500,7200)
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{500}{9 x mul 400 add}
\uput[u](480,4700){\blue $D_2$}\uput[d](480,4500){\red $D_3$}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{500}{7 x mul 1200 add}
\uput[u](440,0){Nombre de pièces}\uput[r](0,7100){Coût en F}
\uput[d](490,0){$x$}\uput[l](0,7100){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur cette même feuille (à rendre en fin d'épreuve), construire la représentation graphique $D_1$ de l'application $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Par simple lecture du graphique, dire dans chacun des cas suivants queUe machine choisir pour que le coût de production soit le plus petit possible :
		
\begin{itemize}
\item la série à fabriquer est de $20$ pièces;
\item la série à fabriquer est de $200$ pièces;
\item la série à fabriquer est de $460$ pièces.
\end{itemize}

Pour chaque série calculer alors son coût de production avec la machine choisie.
		\item Pour un coût de production de \np{3000}~F, donner, par lecture du graphique, une valeur approchée du nombre de pièces que l'on obtiendrait :
		
\begin{itemize}
\item avec la machine A;
\item avec la machine B;
\item avec la machine C.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item $D_2$ coupe $D_1$ en E et $D_3$ en F.

Calculer les coordonnées de E et de F{}.
\item En utilisant ces derniers résultats et en observant le
graphique, indiquer, suivant les valeurs de $x$, la machine donnant le coût de production le plus petit possible. (On sera amené à considérer trois cas.)
\end{enumerate}
\end{document}