\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%%%%%%%
\def\landscape{%
\clearpage
\setlength\paperwidth{297mm}
\setlength\paperheight{210mm}
\setlength\pdfpagewidth\paperwidth
\setlength\pdfpageheight\paperheight
}
\def\endlandscape{%
\clearpage
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\pdfpagewidth\paperwidth
\setlength\pdfpageheight\paperheight
}
%%%%%%%
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rennes juin 1990},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1990}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un restaurant d'entreprise, le chef cuisinier utilise le graphique ci-contre. Ce dernier indique le nombre de personnes que l'on peut servir en fonction de la quantité du produit disponible.

\medskip

\begin{enumerate}
\item

Recopier le tableau suivant et utiliser le graphique pour le compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Nombre de personnes&Quantité nécessaire en kg\\ \hline
Fromages&120&\\ \hline
Salade&100&\\ \hline
Terrine&&14\\ \hline
Rôti de bœuf&&15\\ \hline
Pommes de terre&&24\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(20,160)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(20,160)
\psline(7.4,160)\psline(13,160) \psline(18,130) \psline(20,134) \psline(20,66)
\rput(6,150){fromages}\rput(12,140){salades}\rput(16,125){terrines}\rput(17,100){rôti de bœuf}
\rput(15,38){pommes de terre}
\uput[u](16,0){quantités en kg}\uput[r](0,155){Nombre de personnes}
\uput[l](0,10){10}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Il faut 9 kg de fruits pour $50$ personnes.

Tracer, sur le graphique, la droite représentant le nombre de personnes que l'on peut servir en fonction de la quantité de fruits disponible.
	\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Voici la formule du volume de la calotte sphérique de hauteur $h$ :

\[V = \dfrac{\pi h^2}{3} (3R - h).\]

\psset{xunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\pscircle(0,0){2.2}
\psellipticarc(0,0)(2.2,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(2.2,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,1.6)(1.45,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.6)(1.45,0.45){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(0,2.2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.2,0)
\uput[u](1.1,0){$R$}\uput[r](0,1.8){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la calotte avec $R = 5$ cm et $h = 2$ cm, à $\dfrac{1}{10}$1 près par défaut.
\item Retrouver le volume d'une sphère de rayon $R$ à partir de la
formule précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{La piscine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la vue en perspective du schéma ci-après, indiquer les quatre dimensions qui ne sont pas inscrites.
\item Préciser la nature du solide que constitue la piscine.
\item Calculer l'aire de la face ABCDE en fonction de $x$.
\item Montrer que le volume de la piscine en fonction de $x$ est
$806,25 + 20,25x$.
\item Trouver $x$ pour que la piscine puisse contenir 867 m$^3$ d'eau.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,8.5)
%\psgrid
\rput(5,8.2){LA PISCINE}
\psframe(0.8,5.3)(4.3,7)\rput(2.55,7.4){Vue de dessus}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,5)(4.3,5)\uput[d](2.55,5){25 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,5.2)(0.6,7)\uput[l](0.6,6.1){15 m}
\pspolygon(5.4,7)(9,7)(9,5.8)(7.4,5.8)(5.4,6.5)%ABCDE
\rput(7.2,7.4){Vue de côté}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.2,7)(5.2,6.5)\uput[l](5.2,6.75){\small 0,8 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(9.2,7)(9.2,5.8)\uput[r](9.2,6.4){3,5 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(9,5.6)(7.4,5.6)\uput[d](8.2,5.6){$x$}
\uput[ul](5.4,7){A} \uput[ur](9,7){B} \uput[dr](9,5.8){C} \uput[dl](7.4,5.8){D} \uput[dl](5.4,6.5){E}
\pspolygon(2.6,3)(3.5,4.1)(6.9,3)(6,1.9)%A..B
\psline(6.9,3)(6.9,1.2)(6,0.1)(6,1.9)
\psline(2.6,3)(2.6,2.2)(4.7,0.3)(6,0.1)%(6.9,1.4)(6.9,3)%AEDC??
\psline[linestyle=dashed](3.5,4.1)(3.5,3.3)(2.6,2.2)(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](3.5,3.3)(5.6,1.4)(6.9,1.2)
\psline[linestyle=dashed](5.6,1.4)(4.7,0.3)
\rput(7.5,4.1){Vue en perspective de la piscine}
%\psline(5.4,1.9)(5.4,0.3)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.7,0.2)(6,0)\uput[dl](5.35,0.1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.4,3)(2.4,2.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.5,3.1)(3.4,4.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.5,4.3)(7,3.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.1,3)(7.1,1.2)
\uput[ul](2.6,3){A}\uput[r](6,1.9){B}\uput[dr](6,0.1){C}\uput[dl](2.6,2.2){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le sommet C du triangle ABC ne tient pas sur la feuille. Sans rien tracer hors de la feuille, construire le triangle A$'$B$'$C$'$ image du triangle ABC par la translation de vecteur $\vect{\text{BB}'}$. (Indiquer les étapes de la construction.) Voir le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.9,7)
\psline(0,7)(2.7,4)(3.5,1.2)(0,6.5)%?AB?
\uput[r](2.7,4){A}\uput[r](3.5,1.2){B}
\uput[d](6.7,0.3){B$'$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6.7,0.3)
\psline(0,0)(0,7)\rput{90}(-0.2,3.5){bord de la feuille}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

FGCD est un rectangle d'axe de symétrie la droite (KL).

(K est le milieu du segment [FG]. A est sur le segment [GK].)

A est sur le segment [GK]

B est sur le segment [GC].

On a GA $= \dfrac14$ GK et $\widehat{\text{GAB}} = 60\degres$.

On donne GC $= 6$ et GF $= 4\sqrt 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(0.2,0.2)(4.8,4.2)
\psline(2.5,0.2)(2.5,4.2)
\psline(0.2,1.2)(0.8,0.2)%BA
\uput[d](0.8,0.2){A}\uput[l](0.2,1.2){B}
\uput[ul](0.2,4.2){C}\uput[u](2.5,4.2){L}\uput[u](4.8,4.2){D}
\uput[d](4.8,0.2){F}\uput[d](2.5,0.2){K}\uput[dl](0.4,0.2){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6.7,0.3)
\psarc(0.8,0.2){0.2}{120}{180}\rput(0.4,0.4){\footnotesize $60\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Montrer que AB $= \sqrt 3$. $\left.(\text{On prendra }\:\cos 60\degres = \dfrac12.\right)$
\item Montrer que GB $= \dfrac32$. En déduire que les droites (BA) et (CK) sont parallèles.
\item Déduire du 2. la mesure de l'angle $\widehat{\text{KCD}}$.
\item Montrer que le triangle CKD est équilatéral.
\item Calculer les aires des triangles GCK et GAB, puis le rapport de ces deux aires.

Pouvait-on prévoir le résultat ?
\end{enumerate}
\end{document}