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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $A$ et $B$ suivants sous forme de fractions irréductibles:

\[A = \dfrac56 + \dfrac79 , \qquad  B = \dfrac{50}{14} \times \dfrac{7}{15}.\]

\item Écrire sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers, $b$ étant le plus petit possible:

\[C = 7\sqrt 6 - 2\sqrt{24}\]

\item Donner l'écriture décimale de :

\[D = 2,7 \times  10^3 - 6,4 \times 10 + 452 \times 10^{-1}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Simplifier l'expression algébrique suivante:

$(a + 1)^2 - (a - 1)^2$; puis calculer : $\np{100001}^2 - \np{99999}^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour être vendues, les pommes doivent être calibrées: elles sont réparties en caisses suivant leur diamètre.

Dans un lot de 130 pommes, un producteur a évalué le nombre de pommes pour chacun des six calibres rencontrés dans le lot.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Diamètre $d$ en mm&$55<d \leqslant 60$ &$60<d \leqslant 65$ &$65<d \leqslant 70$ &$70<d \leqslant 75$ &$75<d \leqslant 80$ &$80<d \leqslant 85$\\ \hline
Nombre de pommes&13&20&30&23&26&18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans ce lot:


	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de pommes dont le diamètre est inférieur ou égal à $70$~mm ?
		\item Quel est le nombre de pommes dont le diamètre est strictement supérieur à $80$~mm ?
	\end{enumerate}	
\item Calculer le pourcentage des pommes de ce lot dont le diamètre $d$ est tel que $75 < d \leqslant 80$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit ABC un triangle dont les dimensions sont en cm :  AB $= 5,1$ \:;\:BC $= 8,5$\:;\: $AC= 6,8$.

Faire une figure soignée et précise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 

Justifier votre réponse.
\item Soit M le point appartenant au segment [AB] tel que AM $= 3,4$ cm.

Construire la droite parallèle à (BC) passant par M ; elle coupe le côté [AC] en N.

Calculer AN (donner la valeur approchée à $0,1$~cm près par défaut).
\item Construire le point G translaté du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ABGC ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un moulin à vent a la forme d'un cylindre de révolution surmonté d'un cône de révolution de même base.

Le rayon de cette base est $3$~m.

La hauteur totale du sol au sommet du cône est $10$~m.

La hauteur de la partie cylindrique est $6$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en m$^2$, à 0,01 près l'aire de la base du moulin.
\item Calculer à 1 m$^3$ près:
	\begin{enumerate}
		\item le volume de la partie cylindrique ;
		\item le volume de la partie conique ;
		\item le volume total du moulin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item  Dans un parc d'attraction, on peut voir un modèle réduit de ce moulin à l'échelle $\dfrac13$.

Calculer, à 1 m$^3$ près, le volume de cette réduction.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3.4)(2,2.1)
\psellipticarc(0,0)(1.35,0.55){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.35,0.55){0}{180}
\psellipticarc(0,-3.1)(1.35,0.55){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-3.1)(1.35,0.55){0}{180}
\psline(-1.35,0)(-1.35,-3.1)\psline(1.35,0)(1.35,-3.1)
\psline(-1.35,0.1)(0,2)(1.35,0.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.35,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-3.1)(1.35,-3.1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.5,0)(-1.5,-3.1)\uput[l](-1.5,-1.55){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.8,2)(1.8,-3.1)\uput[r](1.8,-0.55){10}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Un artisan est payé par un marchand de jouets de la façon
suivante: chaque semaine, il reçoit un salaire fixe de 400 F plus 50 F par jouet qu'il réalise.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip
On note $x$ le nombre de jouets réalisés en une semaine et $y$ le salaire correspondant en francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0& 2& 8& 15\\ \hline
$y$&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item Représenter graphiquement l'application affine $f$, définie par $f(x) = 50x + 400$.

On choisira 1 cm pour 2 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour $100$~unités sur l'axe des ordonnées.
\item Par simple lecture de ce graphique (on fera apparaître les pointillés nécessaires), indiquer:
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de jouets à réaliser s'il veut gagner \np{1200}~F en une semaine,
		\item le nombre minimum de jouets à réaliser s'il veut gagner plus de $825$~F par semaine.
	\end{enumerate}
\item Retrouver le résultat du 4. b. en résolvant l'inéquation: $50x + 400 \geqslant 825$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Cet artisan espérait gagner \np{1200}~F en une semaine, mais, une panne de machine l'ayant retardé, il n'a pu fabriquer que 75\,\% des jouets prévus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de jouets a-t-il réalisés ?
\item Quelle somme a-t-il réellement gagnée ?
\end{enumerate}
\end{document}