\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rennes--Reims juin 1992},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Rennes--Reims}
\lfoot{\small juin 1992}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes--Reims juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{I}

\medskip

Voici une liste de notes de seize élèves classés par ordre alphabétique : (les notes sont sur 20)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
André : 6 &Éric : 11& Marise : 14& Pascal : 6\\
Béatrice : 11& Françoise : 14& Mathieu : 13& Patricia : 11\\ 
Charles : 3& Jacqueline: 11& Max : 11& Véronique: 17\\
Claude : 14& Jacques : 14& Nicolas : 17& Xavier : 11
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau donnant la répartition des notes des élèves de cette classe de 3\up{e}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{X|}}\hline
Note							&	&	&	&	&	&\\ \hline
Nombre d'élèves ayant cette note&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter cette répartition à l'aide d'un diagramme.
\item Calculer la moyenne de la classe.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le plus simplement possible :

\[A = \sqrt{\dfrac34} \times \sqrt{\dfrac{1}{27}} ; \quad B = 
\sqrt{18}- \sqrt{50} + 2\sqrt 2.\]

\item Factoriser l'expression suivante:

\[C = (3x + 1)^2+(2 - 5x)(3x + 1).\]

\item Résoudre l'équation:

\[(3x + 1)(3 - 2x) = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

Sur la figure ci-après, SABCD est une pyramide de hauteur SA et de base le rectangle ABCD.

On donne AB $= 4$ cm, AD $= 3$ cm, SA $= 7$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AC.
		\item Déterminer la tangente de l'angle $\widehat{\text{SBA}}$.
		
 À l'aide de la calculatrice, donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{SBA}}$ à 1 degré près par défaut.
		\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(3.2,3.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.45)(0.2,0.2)(2,0.2)%SAB
\psline(2,0.2)(2.7,1.2)(0.2,3.45)%BCS
\psline(0.2,1.725)(1.15,1.725)(1.55,2.225)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.725)(0.55,2.225)(1.55,2.225)%A'D'C'
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(0.9,1.2)(2.7,1.2)%ADC
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.2)(0.2,3.4)%DS
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[dr](2,0.2){B} \uput[ur](2.7,1.2){C}
\uput[l](0.9,1.2){D} \uput[u](0.2,3.45){S} \uput[l](0.2,1.725){A$'$}
\uput[r](1.15,1.725){B$'$} \uput[ur](1.55,2.225){C$'$} \uput[ul](0.55,2.225){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base de manière que :

\[\text{SA}' = \dfrac12 \text{SA}.\]
 
Déterminer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\item Voici représenté à une certaine échelle, la patron incomplet de la pyramide SABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.2,2.3)
\pspolygon(0,0.2)(9.2,0.2)(5.4,1.6)(3.4,1.6)
\psline(3.4,0.2)(3.4,1.6)
\psline(5.4,0.2)(5.4,1.6)
\uput[d](3.4,0.2){A}\uput[d](5.4,0.2){B}
\uput[u](5.4,1.6){C}\uput[u](3.4,1.6){D}
\end{pspicture}
\end{center}

Reproduire et compléter ce patron.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est rectangle isocèle
en A. On donne BC $= 8.4$ cm. Le point M appartient au segment [BC]. Le quadrilatère MNPQ est un rectangle.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-2.6,-0.8)(2.6,3.5)
\pspolygon(2.5;180)(2.5;90)(2.5;0)%BAC
\psframe(-1.8,0)(1.8,0.73)%MQPN
\uput[u](2.5;90){A} \uput[dl](2.5;180){B} \uput[dr](2.5;0){C} \uput[d](-1.8,0.05){M} 
\uput[ul](-1.8,0.73){N} \uput[ur](1.8,0.73){P} \uput[d](1.8,0){Q}
\psframe(-1.8,0)(-1.6,0.2) \psframe(-1.8,0.73)(-1.6,0.53) \psframe(1.8,0.73)(1.6,0.53) \psframe(1.8,0)(1.6,0.2) \rput{-135}(2.5;90){\psframe(0.2,0.2)} 
\psline{<->}(-2.5,-0.4)(-1.8,-0.4)\uput[d](-2.15,-0.4){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
		\item En déduire la nature du triangle BMN et celle du triangle
CQP{}.
	\end{enumerate}
\item On pose BM $= 1,5$~cm.

Calculer MQ et l'aire du rectangle MNPQ.
\item  On pose BM $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer les dimensions MQ et MN en fonction de $x$.
		\item En déduire que l'aire du rectangle MNPQ, notée $\mathcal{A}$, s'écrit:

\[\mathcal{A} = 8,4x - 2x^2.\]

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant à raide de la
question 3. b. et de la question 2.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ en cm		&1	&1,5	&3 	&4\\ \hline
$A$ en cm$^2$	&	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Sur le graphique on a tracé la représentation de l'aire du rectangle en fonction de $x$.
		
Placer sur ce document les points dont on a obtenu les coordonnées dans la question 4. a.
	\end{enumerate}
\item Par lecture du graphique, déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item pour quelles valeurs de $x$, l'aire du rectangle est $4,9$ cm$^2$ ;
		\item pour quelle valeur de $x$, l'aire du rectangle est maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.75)(5,10.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(5,10)
\multido{\n=0+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,10)}
\multido{\n=0+0.1}{100}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(5,10.5)
\uput[d](4.9,0){$x$}\uput[r](0,10.25){Aire du rectangle en cm$^2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.2}{4.2 x sub 2 x mul mul}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}