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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Rennes}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux numériques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $E = (3x - 5)^2 - 4(3x - 5)$. 
\item Résoudre l'équation $(3x - 5)(x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La longueur $L$ d'un champ rectangulaire mesure $\dfrac43$ de sa largeur$l$.

Son périmètre mesure $560$ m.

Quelles sont les dimensions de ce champ ?

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Taxe d'habitation 1991 : \og À chacun sa part \fg

\medskip

Voulant représenter, par un diagramme circulaire, la part qui revient à la commune, au département, à la région, au district, un habitant de RENNES a établi le tableau suivant à partir de son avis d'imposition pour la taxe d'habitation. (La taxe d'habitation est un impôt payé pour toute occupation d'un logement).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
			&Commune 	&Département 	&Région	&District	&Total\\ \hline
Sommes		&3299 F		&1088 F			&300 F	&			&5008 F\\ \hline
Pourcentages&			&				&		&			&\\ \hline
Mesure d'angles 
en degrés	&			&				&		&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessus.

(Les pourcentages seront arrondis au dixième près, les angles à un degré près).
\item  Terminer le diagramme circulaire commencé ci-après.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2.5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](0,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Travaux géométriques}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Observer les figures suivantes puis calculer, en précisant brièvement la méthode utilisée, les mesures manquantes $x$ et $y$. (On ne demande pas de reproduire les figures).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.7)(4.5,0.7)(0.5,2.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(4.5,0.5)\uput[d](2.5,0.5){12}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.5)(0.3,2.4)\uput[l](0.3,1.45){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,2.55)(4.55,0.85)\uput[ur](2.52,1.75){$x$}
\psframe(0.5,0.7)(0.7,0.9)
%%
\pspolygon(5.9,0.5)(9.9,0.5)(5.9,2.2)
\psline(8.5,1.1)(8.5,0.5)
\psframe(5.9,0.5)(6.1,0.7)
\psframe(8.5,0.5)(8.7,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.5,0.3)(9.9,0.3)\uput[d](9.2,0.3){4}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.9,0.1)(9.9,0.1)\uput[d](7.9,0.1){$y$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,2.6)(10,0.8)\uput[ur](8.4,1.5){11}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.6,1.2)(10,0.6)\uput[ur](9.3,0.9){5}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \og Vedette de Bréhat\fg}

\medskip

La distance de l'embarcadère E de l'Arcouest au Port Clos B de
Bréhat est $1,852$ km. 

Une vedette V se trouve au large de l'embarcadère. Des visées ont permis d'établir que l'angle $\widehat{\text{EBV}}$ mesure $35\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après observation de la carte ci-dessous, trouver par le calcul, en
utilisant le triangle EBV rectangle en V{}, la distance EV{}, à 1 m près, de la vedette V à l'embarcadère E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,9)
%\psgrid
\pscurve(0,1)(1,1.2)(2,1.3)(2.6,1.4)(3.7,0)
%%
\pscurve(2.6,5.8)(2.7,5.4)(3.3,5.2)(4,5.8)(4.15,5.75)(4.2,5)(5.3,5.7)(5.2,6.6)(5.4,7.5)(5.3,8)(5.8,8.5)(5,8.8)
\rput(4,6.5){BRÉHAT}
\rput(4,6.9){DE}
\rput(4,7.3){ÎLE}
\psline(2.5,1.5)(4.6,2)(3.9,5.3)%EVB
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.5)(3.9,5.3)
\uput[l](2.5,1.5){E} \uput[r](4.6,2){V} \uput[l](3.9,5.3){B} 
\rput{102}(4.6,2){\psframe(0.2,0.2)}
\rput(4,1.4){Embarcadère}\rput(4,6){Port clos}
\psarc(3.9,5.3){0.4}{252}{280}\rput(3.85,4.5){\small $35\degres$}
\rput(5.5,0.1){Pointe de l'Arcouest}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Une autre vedette \og l'Algue \fg{} effectue, par basse-mer, un grand tour de l'île de $21$ km en 3/4 d'heure.

Quelle est la vitesse moyenne, en km/h, de cette vedette ?
\item  Cette même vedette fait une petite promenade de $40$~minutes autour de l'île, par pleine mer, à la vitesse moyenne de $24$ km/h.

Quelle est la longueur de cette croisière ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Utiliser le quadrillage joint pour tracer puis colorier :

\medskip

\begin{enumerate}
\item En bleu, l'image du \og L \fg{} par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item En rouge, l'image du \og L \fg{} par la rotation de centre A et d'angle $90\degres$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\item Le point E tel que $\vect{\text{BE}} = \vect{\text{BC}} + \vect{\text{BA}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=4mm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(25,25)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pspolygon[fillstyle=vlines](12,6)(8,6)(8,13)(9,13)(9,7)(12,7)%L
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(11,15)(7,20)%BC
\uput[ur](15,14){A} \uput[u](11,15){B} \uput[dl](7,20){C} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.9](15,14)(11,15)(7,20)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,8.5)
%\psgrid
\psframe(1.3,1)(7.3,6.2)%JLCG
\pspolygon[fillstyle=hlines](1.3,6.2)(1.3,6.7)(2,7.6)(7.3,7.6)(7.3,6.2)%GHABC
\pspolygon[fillstyle=penrose,psscale=0.25](1.3,6.2)(2.6,6.2)(2.6,2.9)(1.3,2.9)%GDEF
\psline(2.6,1)(2.6,6.2)%KD
\psline(1.3,2.9)(2.6,2.9)%FE
\psframe(1.3,2.9)(1.5,3.1)
\psframe(2.6,2.9)(2.4,3.1)
\psframe(1.3,6.2)(1.5,6.4)
\psline[linestyle=dashed](1.3,6.7)(1.3,7.6)(2,7.6)%HIA
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,7.8)(2,7.8)\uput[u](1.65,7.8){1,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.1,6.7)(1.1,7.6)\uput[l](1.1,7.15){1,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.5,7.6)(7.5,6.2)\uput[r](7.5,6.9){2,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.5,6.2)(7.5,1)\uput[r](7.5,3.6){11}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.3,0.8)(2.6,0.8)\uput[d](1.95,0.8){2,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.6,0.8)(7.3,0.8)\uput[d](4.95,0.8){9,95}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.8,6.2)(2.8,2.9)\uput[r](2.8,4.55){$x$}
\uput[ur](2,7.6){A} \uput[u](7.3,7.6){B} \uput[dl](7.3,6.2){C} \uput[dl](2.6,6.2){D}
\uput[dr](2.6,2.9){E} \uput[l](1.3,2.9){F} \uput[l](1.3,6.2){G} \uput[ul](1.3,6.7){H}
\uput[ul](1.3,7.6){I} \uput[ul](2.6,1){K} \uput[ul](7.3,1){L} \uput[l](1.3,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}

Sur le plan ci-dessus, l'unité de longueur est le mètre. L'unité d'aire est le mètre carré.

Le rectangle DCLK représente une maison. 

On veut faire construire une terrasse dont le prix n'excède pas \np{12000}~francs.

Cette terrasse est constituée de deux parties :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la partie \no 1 (BCGHA) hachurée sur le plan,
\item[$\bullet~$] la partie \no 2 (rectangle DEFG).
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle AIH.
		\item Montrer que l'aire de la partie \no 1 est égale à $30$ m$^2$.
	\end{enumerate}
\item E est un point du segment [DK]. On pose DE $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire du rectangle DEFG en fonction de $x$.
		\item Exprimer l'aire de la terrasse en fonction de $x$.
	\end{enumerate}	
\item Le prix de revient de la terrasse est : $240$~francs le mètre carré.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le prix $P(x)$ de la terrasse s'écrit :
		
$P(x) = 600x + \np{7200}.$
		\item Quel est le prix de la partie \no 1?
		\item Quel est le prix de la terrasse maximale (c'est-à-dire lorsque E et K sont confondus) ?
	\end{enumerate}	
\item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal le prix de la terrasse en fonction de $x$.
(sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 1 mètre ; sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente \np{1000}~francs.)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par une lecture graphique, les valeurs de la distance $x$ telles que le prix de la terrasse soit inférieur ou égal à \np{12000}~francs.
		\item Quel calcul permettrait de retrouver ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}