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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[5pt]
Rennes juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme
\[y^2 - (x - 2)^2 - 2 (x - 1) (y + x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Décomposer ce polynôme en un produit de deux facteurs ; soient $A$ et $B$ ces deux facteurs.
\item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ a-t-on simultanément
\[A = 0,\hspace{7em}B = 0 \:\:?\] 
\item Étudier et représenter graphiquement les variations des fonctions
\begin{center}$y = - x + 2$,\qquad $y = 3x - 4$,
\end{center}
dans un système d'axes de coordonnées rectangulaires ;

soient $(D)$ et $(D')$ les droites obtenues.

Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection, I ?
\item $(D)$ coupe $x'x$ en M. $(D')$ coupe $y'y$ en N.
Quelles sont les coordonnées de M, de N, du milieu P, de [MN] ?

Quelle est l'équation de la parallèle à la droite $(D)$ menée par P ?
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon $R$.

Sur la tangente en B, on porte le segment $BC = R \sqrt{2}$;

(CA) coupe le cercle en M et le diamètre perpendiculaire à (AB) en F{}.

\begin{enumerate}
\item Calculer AC, MB, CM, MA en fonction de $R$.
\item Montrer que le quadrilatère MFOB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre, I.

En déduire la valeur du produit AF $\cdot$ AM en fonction de $R$.
\item Calculer le rayon du cercle I.
\end{enumerate}
\end{document}