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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes octobre 1957}}

\end{center}

\smallskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant de deux équation à deux inconnues:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{3x}{2} - \dfrac{4y}{5}& =&8,\\
3x - 4y &=& 4.
\end{array}\right.\]

\item Les valeurs trouvées pour $x$ et $y$ représentent, en centimètres, les longueurs des côtés [AB] et [AC] d'un triangle rectangle ABC, d'hypoténuse [BC].

Soit P un point du côté [AB].

La parallèle à (AC), menée par P{}, coupe (BC) en Q.
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque P varie sur [AB], exprimer la longueur du segment [PQ] en fonction de AP{}.
		
Représenter graphiquement les variations de PQ en fonction de AP{}.
		\item Déterminer, à 1~millimètre près, la longueur du segment [BP] lorsque l'aire du triangle BPQ est la moitié de celle du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On considère un triangle ABC, rectangle en A, et tel que BC $= 8$ centimètres et $\widehat{\text{B}} = 30\degres$.

On prolonge [BA] au-delà de A de la longueur AD $= \dfrac{\text{AB}}{2}$.

La parallèle menée de D à (BC) coupe la droite (AC) en E.

Les droites (BE) et (CD) se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AC, AB et CD.
\item Montrer que les triangles ABC et ADE sont semblables et calculer les longueurs AE, ED et BE.
\item Montrer que $\dfrac{\text{ID}}{\text{IC}} = \dfrac12$ et que [BD) est médiane du triangle IBC.

Que représente le point A pour le triangle IBC ?

La droite (IA) coupe (BC) et (DE) en M et N.

Que peut-on dire des points M et N ?
\item Où sont situés les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et ADE ?

Montrer que ces cercles sont tangents extérieurement.
\end{enumerate}
\end{document}