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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[A = (2x - 3) (x - 1)^2 - 4(2x - 3).\]

Trouver les valeurs de $x$ qui rendent nulle l'expression $A$.
\item Simplifier la fraction rationnelle

\[R = \dfrac{(2x - 3)(x - 1)^2 - 4 (2x - 3)}{(x + 1)^2(x - 3)}.\]

\item Construire sur le même graphique la représentation des fonctions
\begin{center}$y = 2x- 3$\qquad et \qquad $y = x + 1$\end{center}
(unité : 1 cm sur chaque axe).
\item Déterminer $x$ pour que la fraction $R$ soit égale
à $+ \dfrac13$ ; montrer comment on peut vérifier ce résultat
à l'aide du graphique construit à la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne deux cercles $(\mathcal{C})$, de centre O, de rayon $R$, et $(\mathcal{C}')$, de centre O$'$, de rayon $R'$, tangents extérieurement en A.

Une tangente commune est tangente en B et C respectivement à $(\mathcal{C})$ et à $(\mathcal{C}')$ et coupe la droite (OO$'$) en S.

La tangente commune en A coupe (BC) en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles BAC et OMO$'$ sont rectangles et semblables.
\item Calculer en fonction de $R$ et $R'$ les longueurs AM, BC et celle de la hauteur [AH] du triangle BAC.
SO
\item Évaluer le rapport : $\dfrac{\text{SO}}{\text{SO}'}$.

Calculer les longueurs SO et SO$'$.
\end{enumerate}
\end{document}