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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

M étant un point quelconque d'un segment [A]B, qui mesure 5 centimètres, on appellera $x$ et $y$ les mesures respectives en centimètres de [AM] et [BM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $x$ et $y$ pour que
\begin{center} $2$AM + BM $= 7$~(centimètres).\end{center}
\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center} $y = - x + 5$\qquad  et v$y = - 2x + 7$\end{center}
et retrouver graphiquement le résultat de la question 1.
\item Peut-on trouver $x$ et $y$ pour que, l'on ait 
\begin{center} $2$AM + BM $= 4$~(centimètres).\end{center}

Donner une solution algébrique et une solution graphique de cette question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un carré ABCD a pour côté [AB] tel que AB $= a$.

On trace le demi-cercle de diamètre [CD], de centre O, intérieure au carré.

On mène de A la tangente [AM) à ce demi-cercle ; cette dernière demi-droite coupe (BC) en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AON est rectangle et en déduire la position de N sur le côté [BC].
\item Le rayon [OM] coupe le côté [BC] en E.

Démontrer que ME = BE.

On pose BE $= x$ ; exprimer en fonction de $x$ et de $a$ les longueurs des trois côtés du triangle OEC ; puis, en utilisant les relations métriques du triangle rectangle, calculer $x$.
\item Le triangle AEO a trois côtés, dont on peut exprimer la longueur en fonction de $a$.

Calculer la longueur des trois hauteurs de ce triangle.
\end{enumerate}
\end{document}