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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Rennes}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un système d'axes rectangulaires O$x$, O$y$ on considère les points A et B de coordonnées A (3~;~2), \:B(0~;~8).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les équations des droites (OA) et (AB).
\item On construit le parallélogramme ayant pour sommets les points O, A et B et dont [OB] est une diagonale.

Calculer les coordonnées du quatrième sommet, C, en cherchant d'abord les équations des droites (OC) et (BC).
\item Vérifier, en calculant les coordonnées du milieu de [AC], que les diagonales du parallélogramme se coupent en leur milieu.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un triangle ABC on mène la médiatrice du côté [BC]. Elle coupe le cercle circonscrit au triangle aux points D et E (A et D sont de part et d'autre de [BC]).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC se trouve sur [AD].
\item Démontrer l'égalité des angles $\widehat{\text{DBI}}$ et $\widehat{\text{BID}}$.
\item F étant le pied de la perpendiculaire abaissée de I sur (AB), démontrer que les triangles DCE et AIF sont semblables.
\item En déduire la relation 
\begin{center}IA $\times$ ID $= 2R \times r$,\end{center}
où $R$ et $r$ sont les rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit.
\end{enumerate}
\end{document}