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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les expressions algébriques :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&x^2 - 16x + 64,\\
B(x)&=& \left(x^2 - 16x + 64\right) - 25,\\
C(x)& =& (x - 3) (2x + 1)^2 - 4x(x - 3)^2 + x - 3.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Mettre chacune de ces expressions sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item En déduire la résolution des équations suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
x^2 - 16x + 64 &=& 0,\\
x^2- 16x + 39&=&0 \\
(x - 3) (2x + 1)^2 - 4x(x - 3)^2 + x - 3&=& 0.
\end{array}\]
	\end{enumerate}
\item On considère la fraction $F(x) = \dfrac{C(x)}{B(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction $F(x)$ est-elle définie ? 
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ est-elle égale
à + 2 ?
		\item Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle $F(x)$ est égale à $16$ ?
	\end{enumerate}
\item Résoudre les inéquations
\begin{center}$8x + 1 > 0$\quad et \quad $x - 13 > 0$.\end{center}

En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles la fraction $F(x)$ est positive.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un triangle ABC dont tous les angles sont aigus, le cercle circonscrit à ce triangle, le centre O de ce cercle, le point D diamétralement opposé au point A sur ce cercle, l'orthocentre H du triangle ABC et le pied E de la hauteur issue de A et relative à [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (BH) el (DC) sont parallèles.
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{EAC}},\: \widehat{\text{BAD}}$ et $\widehat{\text{BCD}}$ sonL égaux.
\item Démontrer que les triangles AEC et ABD sont semblables.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $30\degres$, que [AB] mesure 6~cm et que le diamètre du cercle circonscrit mesure 7~cm.

Calculer les longueurs des segments [BE], [BD] et [BC].
\item La droite (AE) recoupe le cercle en un point A$'$.

Calculer la longueur du segment [EA$'$].
\end{enumerate}
\end{document}