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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1974}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions $P$ et $Q$ telles que
\[\begin{array}{l c l}
P(x) &=& (x + 2)^2 - 9, \: \text{et}\\
Q(x) &=& (x + 5)(x + 2) - (x + 5)^2 + 2x^2 + 10x.
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner $P(x)$ et $Q(x)$.
\item Mettre $P(x)$ et $Q(x)$ sous forme de produits de facteurs.
\item On considère $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.

Déterminer le domaine de définition de $f(x)$ et donner une écriture simplifiée de $f(x)$.
\item Calculer la valeur de $f(x)$ dans les cas suivants
\[x = 1,\quad  x= 3,\quad  x = -\dfrac52.\]

\item Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles on a : $P(x) = 7$ ?
\item On pose $g(x) = x - 1, \: h(x) = 2x - 3$.

Déterminer $(h \circ g)(x)$ et $h^{-1}(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan $P$ rapporté à un repère \Oij{} orthonormé, on donne les points 
\begin{center}A$(-5,0)$, \quad B$\left(\dfrac52~;~0\right)$, \quad C(1~;~3),\quad M(10~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $d$(A, C), $d$(C, B) et $d$(A, B).

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
		\item Vérifier les égalités $\dfrac{d(\text{A}, \text{C})}{d(\text{C}, \text{B})} = - \dfrac{\overline{\text{OC}}}{\overline{\text{OB}}} = \dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}}$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soient D le milieu du bipoint (A, B) et E le milieu du bipoint (O, M).
		
Calculer les coordonnées de D et E et les distances $d$(A, D), $d$(C, D),  $d$(O, E), $d$(E, C).

Quel est le centre du cercle $\mathcal{C}_1$ passant par les trois points A, B, C ?

Quel est le centre du cercle $\mathcal{C}_1$ passant par les trois points O, C, M ? 
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{CD}}$ et $\vect{\text{CE}}$.
		
Montrer que ces vecteurs sont orthogonaux.

Quelles sont les tangentes en C aux cercles $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}