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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Soit $A(x) = 3(x - 2)^2 + x^2 - 4 - (x - 2)(1 - x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$.
\item Développer et ordonner $A(x)$ suivant les puissances décroissantes de x. 1
\item Calculer $A(3)$ et $A\left(\dfrac12\right)$.
\item Calculer $A\left(\sqrt 2 - 1\right)$. Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, déterminer un encadrement à $10^{-1}$ près de $A\left(\sqrt 2 - 1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\emph{On prendra pour unité le centimètre}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij{} ; on donne les points A et B tels que:
\[\vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} \quad; \quad \vect{\text{OB}} = 2 \vect{\imath} + 5\vect{\jmath}.\]

Soit le point M dont les coordonnées sont fonctions de la variable réelle $x$ :
\[\vect{\text{OM}} = 2(x - 1)\vect{\imath}  + x\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les composantes (ou coordonnées) des vecteur $\vect{\text{MA}}$ et $\vect{\text{MB}}$ en fonction de $x$.
\item Quelle équation doit vérifier $x$ pour que le triangle (A, M, B) soit rectangle en M ?

Montrer qu'elle peut s'écrire $(x - 1) (x - 2) = 0$.
\item Donner les points M correspondant à la condition trouvée en 2. 
\item Déterminer le centre E et le rayon du cercle ($\mathcal{C}$) de diamètre [AB].

Montrer que les points J(0~;~1) et N(2~;~2) sont situés sur ce cercle.
\item Donner une équation de la droite (JN).
\item Dessiner l'axe de la symétrie orthogonale qui conserve à la fois le cercle ($\mathcal{C}$) et la droite (JN).

Donner une équation de cette droite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

Un marchand d'articles pour fumeurs achète à un grossiste des boîtes d'allumettes et des briquets pour $230$~F{}.

S'il achète $260$ boîtes d'allumettes et $30$ briquets, le grossiste lui rend $3$~F{}.

S'il achète $160$ boîtes d'allumettes et $40$ briquets, le grossiste lui rend $2$~F{}.

Quel est le prix d'une boîte d'allumettes ? d'un briquet ?
\end{document}