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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

\[p(x) = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Rechercher l'expression développée et ordonnée du polynôme $p(x)$.
\item Écrire le polynôme $p(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Résoudre dans $\Z \times \Z$ le système d'équations suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
8x + 14y&=&312\\
2y + 3 x &=& 78
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice III}

\medskip

On veut acheter des livres, tous au même prix, et des pochettes de crayons toutes à un même prix.

Sachant que $4$ livres et $7$ pochettes coûtent $156$~francs, mais que 9 livres et 6 pochettes valent 234 francs, déterminer les équations permettant de calculer le prix d'un livre et le prix d'une pochette.

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

Un terrain a la forme d'un triangle ABC rectangle en C, dont les dimensions sont pour AC : $20$~m et pour SC : $15$~m.

On partage ce terrain par une droite parallèle à SC coupant AS en M et AC en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dimension de AB.
\item On désigne la distance AH par $x$, la distance MH par $y$ et la distance AM par $z$.

Si $x$ prend la valeur 4 m, alors calculer $y$ et $z$.
\item Calculer une expression de $y$ en fonction de $x$, ou bien, au choix, une expression de $z$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

Un plan euclidien est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(- 2~;~2)$ ; B(0~;~8).
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point D(4~;~10) appartient à la droite (AB).
		\item Démontrer que le point C$(- 4,5~;~- 6)$ n'appartient pas à la droite (AB).
	\end{enumerate}
\item Placer les points E$(- 2~;~5)$ ; G(6~;~9).
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point H tel que (HE) et (GE) soient perpendiculaires et l'abscisse de H soit 2.
		
Démontrer que l'ordonnée de H est $- 3$.
		\item Placer le point K(4~;~3) et démontrer que (EK) est médiatrice du segment [HG]..
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{document}