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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


Soit les polynômes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&2(3x + 1)^2,\\
B(x)&=&9x^2 - 1,\\
C(x)&=&(3x + 1)(2x - 1)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S(x) = A(x ) - B(x ) + C(x)$, et simplifier son expression afin d'obtenir un trinôme du second degré.
\item Montrer que $S(x)$ peut s'écrire sous la forme $S(x) =(3x + 1)(ax + b)$,
préciser alors les valeurs de $a$ et de $b$.
\item Calculer, en expliquant les résultats, les valeurs
numériques suivantes :
\begin{center}$S(0)\:;\qquad  S\left(- \dfrac13 \right)\:;\qquad  S\left(\sqrt 3\right)$ \quad et \quad $S\left( \dfrac34 \right)$.\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'équation : 
\[x + y + 5 = 0.\]

 Donner deux couples $(x~;~y)$ solutions de cette équation.
\item Soit l'équation : 
\[2x - 3y + 15 = 0.\]

 De même, donner deux couples $(x~;~y)$ solutions de cette seconde équation.
\item Dans un plan muni d'un  repère \Oij{} placer les points A et B ayant respectivement pour coordonnées les deux couples $(x~;~y)$ solutions de la première équation.

Tracer la droite (AB).

Sur ce même repère, placer les points C et D ayant respectivement pour coordonnées les deux couples $(x~;~y)$ solutions de la seconde équation.

Tracer la droite (CD).

Lire les coordonnées du point I, intersection des droites (AB) et (CD).
\item Résoudre, dans $\R \times \R$,le système d'équations :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{2}x + \phantom{2}y + \phantom{2}5&=&0\\
2x - 3y + 15&=&0.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un groupe de personnes décident de déjeuner
au restaurant et choisissent le menu à $24$~F \og tout compris\fg.

À la fin du repas, quatre personnes constatent l'oubli de leur portefeuille ; chacune des autres personnes doit payer alors $6$~F de plus pour régler l'addition totale. 

Quel est le nombre de personnes constituant ce groupe ?

\medskip

\textbf{Exercice 4 Constructions géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] et de centre (O). 

Construire le point D (D $\in \mathcal{C}$) tel que le triangle (O, B, D) soit équilatéral.
\item Construire le point E, intersection de la médiatrice du segment [AD] avec le demi-cercle $\mathcal{C}$.
\item Soit la droite $\Delta$ perpendiculaire en (O) à la droite (AB). 

Construire le point E$'$, image de E dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{document}