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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Rennes}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes
 septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $A$ et $B$ suivants sous forme de fractions irréductibles :

\[A = \dfrac56 + \dfrac79 \:; \quad B = \dfrac{50}{14} \times \dfrac{7}{15}.\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ sont deux entiers,
$b$ étant le plus petit possible

\[C = 7\sqrt 6 - 2\sqrt{24}.\]

\item Donner l'écriture décimale de :

\[D = 2,7 \times 10^3 - 6,4 \times 10 + 452 \times 10^{-1}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Simplifier l'expression algébrique suivante :

$(a + 1)^2 - (a - 1)^2$,\: puis calculer : $\np{100001}^2 - \np{99999}^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

 Pour être vendues, les pommes doivent être calibrées : elle ont réparties en caisses suivant leur diamètre.

Dans un lot de $130$ pommes, un producteur a évalué le nom-bre de pommes pour chacun des six calibres rencontrés dans le lot.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Diamètre $d$ en mm&$55<d\leqslant60$&$60< d\leqslant65$&$65 < d\leqslant 70$&$70 < d\leqslant 75$ & $75< d\leqslant 80$& $80 < d\leqslant85$\\ \hline
Nombre de pommes&13 &20 &30 &23 &26 &18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans ce lot :
	\begin{enumerate}
		\item quel est le nombre de pommes dont le diamètre est inférieur ou égal à $70$ mm ?
		\item quel est le nombre de pommes dont le diamètre est strictement supérieur à $80$ mm ?
	\end{enumerate}
\item Calculer le pourcentage des pommes de ce lot dont le diamètre $d$ est tel que 

$75 < d \leqslant 80$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit ABC un triangle dont les dimensions sont en cm AB $= 5,1$ ;\: BC $= 8,5$ ;\: AC $= 6,8$.

Faire une figure soignée et précise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 

Justifier votre réponse.
\item Soit M le point appartenant au segment [AB] tel que AM $= 3,4$ cm.
Construire la droite parallèle à (BC) passant par M ; elle coupe le côté [AC] en N.
Calculer AN (donner la valeur approchée à $0,1$ cm près par défaut).
\item Construire le point G translaté du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ABGC ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Un moulin à vent a la forme d'un cylindre de révolution surmonté d'un cône de révolution de même base.

Le rayon de cette base est $3$~m.

La hauteur totale du sol au sommet du cône est $10$~m.

La hauteur de la partie cylindrique est $6$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en m$^2$, à $0,01$ près l'aire de la base du moulin.
\item Calculer à 1 m$^2$ près :
	\begin{enumerate}
		\item le volume de la partie cylindrique ;
		\item le volume de la partie conique ;
		\item le volume total du moulin.
	\end{enumerate}	
\item Dans un parc d'attraction, on peut voir un modèle réduit
 de ce moulin à l'échelle $\dfrac13$.

Calculer, à 1 m$^3$ près, le volume de cette réduction.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-2.9)(2.4,1.7)
\psellipticarc(0,0)(1.2,0.65){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0.65){0}{180}
\psellipticarc(0,-2.4)(1.2,0.65){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-2.4)(1.2,0.65){0}{180}
\psline(-1.2,0)(-1.2,-2.4)\psline(1.2,0)(1.2,-2.4)
\psline(-1.2,0.1)(0,1.6)(1.2,0.1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-1.8,0)(-1.8,-2.4)\uput[l](-1.8,-1.2){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.8,1.6)(1.8,-2.4)\uput[r](1.8,-0.4){10}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0)\uput[d](0.6,0){3}
\psline[linestyle=dashed](0,-2.4)(1.2,-2.4)\uput[d](0.6,-2.4){3}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un artisan est payé par un marchand de jouets de la façon suivante : chaque semaine, il reçoit un salaire fixe de $400$ F plus $50$ F par jouet qu'il réalise.

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

On note $x$ le nombre de jouets réalisés en une semaine et $y$
le salaire correspondant en francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0	& 2	& 8	& 15\\ \hline
$y$&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Exprimer $y$ en fonction de $x$.
\item Représenter graphiquement l'application affine $f$, définie
par $f(x) = 50x + 400$.

On choisira: 1 cm pour 2 unités sur l'axe des abscisses.

1 cm pour $100$ unités sur l'axe des ordonnées.
\item Par simple lecture de ce graphique (on fera apparaître les pointillés nécessaires), indiquer:
	\begin{enumerate}
		\item le nombre de jouets à réaliser s'il veut gagner \np{1200}~F en une semaine.
		\item le nombre minimum de jouets à réaliser s'il veut gagner plus de $825$ F par semaine.
	\end{enumerate}	
\item Retrouver le résultat du 4) b) en résolvant l'inéquation: $50x + 400 \geqslant 825$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip 

Cet artisan espérait gagner \np{1200}~F en une semaine, mais, une panne de machine l'ayant retardé, il n'a pu fabriquer que 75\,\% des jouets prévus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de jouets a-t-il réalisés ?
\item Quelle somme a-t-il réellement gagnée?
\end{enumerate}
\end{document}