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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Rennes}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression $(2x + 3y)^2$ et mettre l'expression $4x^2 - 9y^2$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Mettre les expressions
et
\[\begin{array}{l}
4x^2 + 12xy + 9y^2 - 16\:\text{et}\\ 
4x^2 - 9y^2 - 4(2x - 3y)
\end{array}\]

sous la forme de produits de deux facteurs. 
\item Simplifier la fraction algébrique
\[F = \dfrac{4x^2 + 12xy + 9y^2 - 16}{4x^2 - 9y^2 - 4(2x - 3y)}.\]

Calculer la valeur numérique de la fraction algébrique obtenue pour:
	\begin{enumerate}
		\item $x = -2$ et $y = -\dfrac13$ ;
		\item $x = 3$ et $y = 2$ ;
		\item $x = \sqrt 3$ et $y =- 2$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, lorsque la fraction algébrique $F$
 est nulle, $y = -\dfrac23 x - \dfrac43$.
 
Construire la droite $D$ représentant les variations de $y$ en fonction de $x$ et donner l'équation de la droite $D'$ parallèle à la droite $D$ et passant par l'origine des coordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient un triangle ABC et la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$.

Soit I le point où cette bissectrice rencontre le côté [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des côtés [AB] et [AC] du triangle, sachant que

\begin{center}$\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}  = \dfrac{\text{BI}}{\text{IC}}= \dfrac12$\quad et que \quad AB + AC $= 12$~cm.\end{center}
\item On suppose en outre, dans tout ce qui suit, que
\[\widehat{\text{ICA}} = \widehat{\text{IAC}}.\]

On trace le cercle circonscrit au triangle ABC ; soit D le point où (AI) recoupe ce cercle.

Montrer que le quadrilatère ACDB est un trapèze.

On mène par B la parallèle à (CD), qui rencontre (AC) en O.

Montrer que O est milieu de [AC].

En déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Calculer BC.
\item Calculer IB et IC.
\item Calculer le produit AI $\times$ ID.
\end{enumerate}
\end{document}