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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Rennes}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Développer et réduire $\left(2 \sqrt 3 - 1\right)\left(6 - \sqrt 3\right)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Donner la valeur exacte la plus simple possible en indiquant le détail des calculs :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{34}{5} \div \left(\dfrac45 - \dfrac58 \right)$ ;
\item $\dfrac{24 \times 10^2 \times 3,5 \times 10^5}{8 \times 10^{-1} \times 21 \times 10^4}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser l'expression $(3x - 2)^2 - (5x - 3) (3x - 2)$.
\item Résoudre l'équation $(3 x - 2)(1 - 2 x ) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit le système :  $\left\{\begin{array}{l c l}
y &=& 2x - 7\\
y &=& - x + 20
\end{array}\right.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item En considérant chacune des équations comme une équation de droite, résoudre graphiquement le système précédent (on se placera dans un repère orthonormé et on prendra pour unité graphique $0,5$ cm).
\item Résoudre le système précédent par le calcul.
\item Traduire le dialogue suivant par un système d'équations :

\begin{itemize}
\item Antoine : \og Si je doublais mon nombre de CD, j'en aurais 7 de plus que toi.\fg
\item Bérénice : \og Si nous en achetions encore 2 chacun, nous en aurions 24 au total.\fg
\end{itemize}

On désignera par $x$ le nombre de CD d'Antoine et par $y$ celui de
Bérénice.
\item Quel est le nombre de CD possédés par chacun des deux enfants ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.59\linewidth}
On réalisera les constructions sur le quadrillage ci-après.

Sur cette figure, la ligne courbe représente la côte ; P est un phare ; C un clocher ; B une balise ; R un rocher ; V un voilier.

Le voilier V se déplace selon les transformations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] V effectue une translation de vecteur $\vect{\text{RP}}$ et parvient en V$_1$ ;
\item[$\bullet~~$] puis il se déplace de V$_1$ à V$_2$ par une rotation de centre C et d'angle $90\degres$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ;
\item[$\bullet~~$] enfin, à partir de V$_2$, il rejoint en ligne droite la position V$_3$, image de V$_2$ par la symétrie de centre B.
\end{itemize}


\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(0,-1)(9,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(9,10)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2,7)(5,3)(5,9)(7,8)(9,6)%VBRPC
\uput[ul](2,7){V} \uput[ul](5,3){B} \uput[ul](5,9){R}
\uput[dr](7,8){P} \uput[ul](9,6){C}
\pscurve(7.4,10)(7.8,9)(6.7,8)(7.4,7)(7.5,6.5)(7.3,6)(7.6,5)(7.3,4)(8,3)(8.5,3.25)(9,3.3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0,-0.2)(1,-0.2)\uput[d](0.5,-0.2){\scriptsize 1 mile marin}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points V$_1$, V$_2$, V$_3$ sur le quadrillage.
\item Sachant qu'un carreau du quadrillage représente un carré de un mille marin de côté, exprimer, à l'aide de $\pi$, la mesure exacte simplifiée du trajet parcouru par le voilier entre V et V$_3$ (on donnera la réponse en milles marins).
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On utilisera et on complétera la figure ci-après.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.2,2.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.4,2)(3.6,2)(3.6,0.2)%IJK
\psline(3.6,0.2)(2.5625,2)%KA
\pscircle(3.08125,1.1){1.0388}
\pscircle(1.48,1.2){1.33}
\psdots(1.48,1.2)\uput[dr](1.48,1.2){O}
\uput[ul](0.2,2){I} \uput[u](2.5625,2){A} \uput[ur](3.6,2){J}
\uput[dr](3.6,0.2){K} \uput[dr](3.8,0.5){(C)} \uput[dl](0.4,0.4){(C$'$)}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur cette figure, le triangle AKI est un triangle isocèle de sommet 
principal A tel que 

AK = 4 cm et $\widehat{\text{AIK}} = 25\degres$. 

Le cercle (C) de diamètre [AK] recoupe la droite (AI) au point J.

(C$'$) est le cercle de centre O passant par les points A et I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'angle JAK mesure 50° .
\item Préciser, en justifiant, la nature du triangle AJK.
Calculer JK puis lJ (en donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millimètre).
\item Soit M le milieu de [IA].
Montrer, sans faire de calcul, que les droites (OM) et (KJ) sont parallèles.
\item (IK) coupe (GM) en L, calculer une valeur approchée de LM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Questions enchaînées}

\medskip

Un horticulteur envisage la construction d'une serre entièrement vitrée ayant la forme d'un parallélépipède rectangle surmonté d'une pyramide comme l'indique la figure ci-après.

On désigne par $x$ la hauteur SK (exprimée en mètres) de la pyramide SABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.5)(2.8,2.3)
%\psgrid
\psframe(-2.5,-0.2)(1,-1.8)%ADHE
\psline(1,-1.8)(2.5,-1.4)(2.5,0.2)(1,-0.2)%HGCD
\psline(-2.5,-0.2)(0,1.8)(1,-0.2)(2.5,0.2)(0,1.8)%ASDCS
\pspolygon[linestyle=dashed](2.5,0.2)(-1,0.2)(-2.5,-0.2)%CBA
\psline[linestyle=dashed](1,-0.2)(-1,0.2)(0,1.8)(0,0)%DBSK
\psline[linestyle=dashed](-2.5,-1.8)(-1,-1.4)(2.5,-1.4)%EFG
\psline[linestyle=dashed](-1,-1.4)(-1,0.2)%FB
\uput[dr](-2.5,-0.2){A} \uput[u](2.5,0.2){C} \uput[ul](-1,0.2){B}
\uput[d](0,0){K}\uput[u](0,1.8){S}\uput[ul](-2.5,-1.8){E}
\uput[ul](1,-1.8){H} \uput[ul](2.5,-1.4){G} \uput[dr](1,-0.2){D}
\uput[ur](-1,-1.4){F}
\psline(0,0.15)(0.2,0.18)(0.2,0.02)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-2.5,-1.9)(1,-1.9)\uput[d](-0.75,-1.9){8 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.08,-1.9)(2.54,-1.5)\uput[dr](1.81,-1.7){6 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.6,0.2)(2.6,-1.4)\uput[r](2.6,-0.6){3 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume (en m$^3$) de la serre est donné par la formule $V = 144 + 16x$.
\item Calculer ce volume pour $x = 1,5$.
\item Pour quelle valeur de $x$ le volume de la serre est-il de $200$ m$^3$ ?
\end{enumerate}

\smallskip


On s’intéresse maintenant à la surface vitrée de la serre (surface constituée des quatre faces latérales et du toit).

Répondre aux questions 4. et 5. en utilisant le graphique ci-après qui donne l'aire de cette surface vitrée en fonction de $x$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-5)(5,42.5)
\multido{\n=0.0+0.2}{26}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0.0+2}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(5,\n)}
%\multido{\n=2.5+10,\na=130+10}{5}{\uput[l](0,\n){\na}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=130,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(5,40)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=130,Dy=10](0,0)(0,0)(5,40)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{5}{x dup mul 9 add sqrt 8 mul x dup mul 16 add sqrt 6 mul add 46 sub}
\rput(2.4,-6){hauteur de la pyramide en mètres}
\rput{90}(-0.9,22){aire de la surface en m$^2$}
\uput[l](-0.1,2){132}
\end{pspicture}
\end{center}
\smallskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est l'aire de la surface vitrée pour $x = 4,20$ puis pour $x = 0$ ?
\item Pour des raisons de coût, l'horticulteur souhaite limiter la surface vitrée à $150$ m$^2$. Quelle est dans ce cas la hauteur de la pyramide ?
\item En remarquant la forme particulière de la serre dans le cas où $x = 0$, calculer l'aire de la surface vitrée et retrouver ainsi le résultat donné par le graphique.
\end{enumerate}
\smallskip

On prend désormais SK $= 3$ m (c'est-à-dire $x = 3$).

Afin de mieux se rendre compte de l'allure de sa serre, l'horticulteur décide d'en fabriquer une maquette en carton à l'échelle $1/200$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer AC puis SC (distances réelles dans la serre).
\item En remarquant l'égalité des longueurs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD], compléter le patron de la maquette ci-après.
\item Combien de fois le volume de la maquette est-il contenu dans le volume réel de la serre ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,4)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3.3)(1.5,4.5)(0,3.3)%EH???E
\psline(0,3.3)(3,3.3)
\psline(0,2.2)(3,2.2)%FG
\uput[ur](0,0){E} \uput[ul](3,0){H} \uput[dl](3,2.2){G}\uput[dr](0,2.2){F}
\rput(1.5,-0.4){Patron de la pyramide}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 