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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

%\medskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

%\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression $(2 x + 1)^2 - (2 x - 1)^2$.
\item Calculer $\np{2001}^2 -  \np{1999}^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère le tableau de répartition des tailles pour un échantillon de \np{1000} hommes et de \np{1000} femmes adultes (source INSEE).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Taille en cm &Hommes &Femmes\\ \hline
$140 \leqslant t<150$& 10 &38\\ \hline
$150 \leqslant t<160$&36 &360\\ \hline
$160 \leqslant t<170$&383& 531\\ \hline
$170 \leqslant t<195$&571 &71\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dans cet échantillon :

\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre total d'adultes de taille strictement inférieure à $170$ cm ?
\item Quel est le nombre de femmes dont la taille est supérieure ou égale à $160$ cm ?
\item Calculer le pourcentage d'hommes dont la taille est strictement inférieure à $160$ cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le graphique ci-après décrit les variations de la hauteur de l'eau dans le port de Saint-Malo durant une période de 8 heures (de $15$~h à $23$~h).
À l'aide de ce graphique, indiquer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item La hauteur maximum de l'eau et l'heure de la pleine mer.
\item La hauteur d'eau à 22~h~30 (à $20$~cm près).
\item L’intervalle de temps pendant lequel le niveau de la mer est resté supérieur à $7$~m.
Quelle fraction des huit heures cet intervalle de temps représente-t-il ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,comma=true}
\begin{pspicture}(8,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Oy=2.5,Dy=15](0,0)(0,0)(8,9.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0.0000+0.33336}{25}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=3+1,\na=0.5+1.0}{9}{\uput[l](0,\na){\n}}
\multido{\n=0+1,\na=15+1}{9}{\rput(\n,9.25){\na~h}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4}{0 17 x 2 exp mul 32 div sub 4.25 x mul add }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{4}{8}{2 3.25 x mul add 0.40625 x 2 exp mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-après sont représentés six hexagones réguliers.
\begin{enumerate}
\item Construire le point M tel que $\vect{\text{AM}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.
\item Construire le point P{}, image de G par la rotation de centre A et d'angle $60\degres$, dans le sens des aiguilles d'une montre.
\item Construire le point Q, symétrique orthogonal de H par rapport à la droite (BE).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(4.5,2.5)
%\psgrid
\def\hexa{\pspolygon(0.9;0)(0.9;60)(0.9;120)(0.9;180)(0.9;2400)(0.9;300)}
\def\hexanumero{\pspolygon(0.9;0)(0.9;60)(0.9;120)(0.9;180)(0.9;240)(0.9;300)
\uput[l](0.9;0){\scriptsize D}\uput[dl](0.9;60){\scriptsize C}\uput[dr](0.9;120){\scriptsize B}\uput[r](0.9;180){\scriptsize A}\uput[ur](0.9;240){\scriptsize F}\uput[ul](0.9;300){\scriptsize E}}
\rput(0.9,0){\hexa}\rput(2.25,0.78){\hexa}\rput(2.25,-0.78){\hexa}
\rput(3.6,0){\hexanumero}\rput(3.6,1.56){\hexa}\rput(3.6,-1.56){\hexa}
\rput(2.9,1.58){\scriptsize G}\rput(3.85,2.1){\scriptsize H}
\psline(1.38,0.8)(4.04,2.36)
\psline(3.13,0.8)(4.04,-0.8)
\psline(2.7,1.58)(2.7,0)(4.04,0.8)%GAC
\rput{-150}(2.7,1.58){\psframe(0.25,0.25)}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un repère orthonormal (O, I, J) (unité graphique : 2 cm), on considère les points suivants :
A$\left(\dfrac12~;~3\right)$, \quad  B$\left(\dfrac52~;~1\right)$,\quad C$\left(3~;~\dfrac72\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les point A, B et C.
\item Montrer que la droite (AB) a pour équation $y = - x + \dfrac72$.
\item Déterminer l'équation de la droite $\Delta$ passant par C et de coefficient directeur 1.

Les deux droites $\Delta$ et (AB) sont perpendiculaires. Pourquoi ?
\item Montrer que M, milieu du segment [AB], est un point de $\Delta$.
\item On appelle D le symétrique du point C par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Les deux parties sont indépendantes.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}On peut assimiler un appentis (petit bâtiment adossé à un mur et servant de hangar) à un prisme droit dont la base est un trapèze rectangle ABCD. Les murs latéraux sont les deux trapèzes rectangles ABCD et EFGH. 

On a : AB = AD = 2 m; \quad  AE = DC $= 4$ m
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\pspolygon(0.3,0)(2.3,0)(2.3,2)(0.3,3)%DABC
\psline(2.3,0)(5.7,0.8)(5.7,2.8)(2.3,2)%AEFB
\psline(5.7,2.8)(3.8,3.9)(0.3,3)%FGC
\psline[linestyle=dashed](0.3,0)(3.8,0.8)(5.7,0.8)%DHE
\psline[linestyle=dashed](3.8,0.8)(3.8,3.9)%HG
\uput[d](2.3,0){A} \uput[u](2.3,2){B} \uput[ul](0.3,2.8){C} \uput[l](0.3,0){D}
\uput[dr](5.7,0.8){E} \uput[r](5.7,2.8){F} \uput[u](3.7,3.8){G} \uput[ur](3.8,0.8){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Première partie : construction des murs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le mur ABCD à l'échelle 1/40.
\end{enumerate}
\smallskip

La construction des deux murs latéraux est réalisée avec des planches de bois rectangulaires de $200$ cm de long et $40$ cm de large suivant le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,6.5)
\pspolygon(0.3,0)(2.8,0)(2.8,4.3)(0.3,6.2)%D??C
\psline(1.55,0)(1.55,5.25)
\psline[linestyle=dashed](2.8,0)(4.1,0)(4.1,3.2)(2.8,4.3)
\rput(0.9,3.15){\no 1}\rput(2.3,2.5){\no 2}\rput(3.6,1.5){\no 3}
\uput[l](0.3,0){D}\uput[l](0.3,6.2){C}
\end{pspicture}
\end{center}

Il faudra donc monter 5 panneaux (numérotés de 1 à 5) pour construire le mur ABCD.


\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les 5 panneaux sur le plan réalisé à la question 1.
		\item Le premier panneau (\no 1) a pour hauteur 4 m. Montrer que la hauteur du panneau n° 2 est 3,60 m. Quelle est celle du panneau \no 3 ?
	\end{enumerate}
\item Chaque panneau est constitué d'une planche de base (de 200 cm sur 40 cm) complète et d'un morceau nécessitant une découpe.
On commence pat construire le panneau \no 1.
	\begin{enumerate}
		\item Combien faut-il de planches pour le réaliser?
		\item Il reste une \og chute \fg{} après la découpe et la pose des morceaux utiles. Quelle en est la forme?
		\item On veut utiliser cette chute pour éviter les pertes. Quel panneau cette chute permet-elle de terminer ? (On suppose qu'on aura déjà posé, pour ce panneau, la planche de base entière.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, de la même façon, il ne faut que 3 planches au total pour construire les panneaux \no 2 et \no 4.
		\item En déduire le nombre minimum de planches nécessaires à la construction du mur ABCD, puis le nombre minimum de planches nécessaires à la construction des deux murs latéraux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : Construction du toit}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère BCGF ?
\item Calculer la longueur réelle du segment BC. En déduire que l'aire
du toit est 8 2m2.
\item Le coût de la construction des murs latéraux est \np{4800} F{}. La dépense totale ne doit pas excéder \np{9000}~F{}.

Déterminer le prix maximum que l'on peut dépenser par m$^2$ de toiture. (On arrondira la somme au franc près.)
\end{enumerate}
\end{document}