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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le degré du polynôme

\[P(x) = x^2 - \left(x^2 \sqrt 2 - 1\right)x \sqrt 2 - 3x^2 - x\left(1 + \sqrt 2\right) - 1 + 5x^3.\]

\item Démontrer que le nombre $x =  \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$
est racine de l'équation
\[x^2 - x - 1 = 0. \]
\item Effectuer le produit

\[\left(x - \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right)\left( - \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}\right).\]

En déduire une autre solution de l'équation
\[x^2 - x - 1 = 0. \]
\item On donne trois points, A, B et C, dans cet ordre, sur une droite. La mesure de [AB] est 1, celle de [BC] est $x$.

Démontrer que, si $x = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$, les rapports $\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}$ sont égaux.
\item Calculer une valeur approchée à $\dfrac{1}{\np{1000}}$ près du
 nombre $\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$.
\end{enumerate}

\textbf{N.  B.} - Les questions 4. et 5. sont indépendantes des trois premières.

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un segment [AB], de mesure $a$, et le point C, appartenant au segment [AB], qui partage ce segment dans le rapport arithmétique $\dfrac32$.

On trace les droites $\left(D_1\right)$,\: $\left(D_2\right)$ et $\left(D\right)$, perpendiculaires à (AB) et passant respectivement par A, B et C.

M est un point de la droite $(D)$ ; la droite (AM) coupe $\left(D_2\right)$ en E; la droite (BM) coupe $\left(D_1\right)$ en F ; la droite (EF) coupe $(D)$ en H et la droite (AB) en G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, la mesure du segment [AC].

\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}, \: \dfrac{\text{CM}}{\text{BE}},\dfrac{\text{FH}}{\text{FE}}$ et $\dfrac{\text{HM}}{\text{BE}}$.

En déduire la position du point M sur le segment [CH].
\item Calculer les rapports $\dfrac{\text{AM}}{\text{ME}}, \: \dfrac{\text{AF}}{\text{BE}}$ et $\dfrac{\text{AG}}{\text{BE}}$.

En déduire que la position de G ne dépend pas de la position de M sur la droite $(D)$.
\item Calculer les mesures des segments [AG] et [CG].

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{AGF}}$ si la mesure de
CM est $6a$.
\end{enumerate}
\end{document}