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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Rennes}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

Les résultats devront être réduits

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a + b \:;\quad  a -b \:;\quad \dfrac ab \:;\quad  3a + 5$ \:lorsque $a = \dfrac56$ et $b = \dfrac{7}{12}$.
\item Calculer la valeur exacte de : $\left(2\sqrt 5 + 1\right) \times \left(\sqrt 5 - 1\right)$.
\item Développer puis réduire : $(2a + 1)^2 - (a - 3)^2$.
\item Factoriser : $(x + 3)^2 + (2x - 4)(x + 3)$.
\item Soit le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 4y &=&28\\
 2x +3y &=&20.
\end{array}\right.\]

Le couple de réels $(8~;~1)$ est-il solution de ce système ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 15$~cm et BC $= 25$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le triangle ABC à l'échelle $\dfrac12$.
\item Calculer la longueur AC.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ (noté $\sin \widehat{\text{BCA}}$).

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ à $1\degres$ près.

On pourra utiliser l'extrait de table suivant :

\textbf{Extrait de tables}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle  		&Sinus\\ \hline
35\degres 	&0,574\\ \hline
36\degres 	&0,588\\ \hline
37\degres 	&0,602\\ \hline
38\degres 	&0,616\\ \hline
39\degres 	&0,629\\ \hline
40\degres 	&0,643\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver un représentant de $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}$, de $\vect{\text{AB}} - \vect{\text{AD}}$, de $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{ID}}$.
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = 2\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}}$.
\item Dans le repère $\left(\text{A},~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}\right)$, quelles sont les coordon-
nées des points suivants: C, I et E ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en C tel que AC $= 12$ cm et BC $= 9$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la construction en respectant les mesures.
\item Calculer l'aire du triangle ABC en cm$^2$. On la notera $S$.
\item Placer le point E sur le segment [AC] tel que AE $= 4$~cm. 

La parallèle à la droite (BC) passant par E coupe le segment [AB] en D.

Mesurer à l'aide du double décimètre la longueur DE.
\item Recommencer ce même travail pour les autres valeurs de AE données dans le tableau.

Recopier et compléter le tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
AE &4 &6 &8 &9 \\ \hline
DE &&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ la longueur AE, $y$ la longueur DE, $S(x)$ l'aire du triangle AED.
On se propose de représenter graphiquement la correspondance entre $x$ et $y$ d'une part puis entre $x$ et $S(x)$ d'autre part.
	\begin{enumerate}
		\item Entre quelles valeurs extrêmes peut varier $x$ ? 
		
Même question pour $y$ ?

Même question pour $S(x)$ ?
		\item Dans un repère orthonormé (unité 1cm), placer les points de coordonnées $(x~;~y)$ correspondant au tableau, ainsi que les points correspondant aux valeurs extrêmes de $(x~;~y)$.
		
Vérifier graphiquement que tous ces points sont alignés sur la droite contenant l'origine et le point de coordonnées (12~;~9).

Donner une équation de cette droite.

En déduire que $S(x) = \dfrac38 x^2$.
		\item Dans un deuxième repère, orthogonal (on choisira $1$~cm comme unité sur l'axe des abscisses et 2~cm pour représenter 10~cm$^2$ sur l'axe des ordonnées), construire graphiquement la correspondance entre $x$ et $S(x)$ pour $x= 0 \:; x = 4; x = 6; x = 8; x = 9; x = 10$ et $x = 12$.
		
Vous constaterez que les points ne sont pas alignés, on suggère toutefois de les relier deux à deux par des segments.
		\item À l'aide du graphique précédent, déterminer à 1 mm près une valeur approchée de $x$ pour que $S(x)$ soit la moitié de l'aire $S$ du triangle ACB.
		\item Déterminer par un calcul algébrique la valeur exacte du nombre $x$ trouvé ci-dessus en dl.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}