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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rome}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Rome}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'équation, dont $x$ est l'inconnue,
\[5(m - 1)x^2-(2m - 7)x - 3(m - 2) = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre cette équation quand $m = 1$.
\item Pour quelles valeurs de $m,\: x$ est-il égal à $-1$, à $1$ ?
\item On pose $a = 5(m - 1),\: b = - (2m - 7),\: c = - 3(m - 2).$

Calculer la quantité $b^2 - 4 ac$.

Démontrer qu'elle est un carré parfait.
\item Que devient l'équation initiale en $x$ quand on remplace $m$ par la valeur $1$ ?

Démontrer qu'elle prend la forme d'un produit remarquable.

La résoudre.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle rectangle ABC, dont l'hypoténuse est [BC].

Les côtés de l'angle droit [AB] et [AC] mesurent respectivement 4 et 3 cm.

Soit H le pied de la hauteur issue de A sur l'hypoténuse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs  BC, BH, CH et AH.
\item On prend sur le segment [BH] un point M et l'on pose BM $= x$.

La perpendiculaire à (BC) menée par M coupe (AB) en P ; la parallèle menée par P à (BC) coupe (AC) en Q.

Démontrer que les triangles MBP et APQ sont semblables au triangle ABC.

Écrire les rapports de similitude.

Calculer en fonction de $x$ les longueurs des segments [PB], [PA] et  [PQ].
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité PQ = BM ?

Quelle est alors, dans ces conditions, la longueur du segment [QM] ?
\end{enumerate}
\end{document}