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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rome juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres $a$ et $b$ sont des entiers positifs.

La fraction $\dfrac ab$ est égale à $\dfrac35$ ;

La fraction $\dfrac{a + 8}{b - 16}$ est égale à 1.

Déterminer les nombres $a$ et $b$.
\item On donne les polynômes suivants, fonctions de la variable $x$ :
\[\begin{array}{l c l}
E(x)& =&(2x + 1)^2 - (2x + 1)(2 - 3x) ;\\
F(x)&=&2x^2 + x \:\text{et}\\
G(x)&=&4(x + 1)^2 - (2x - 3)^2.
\end{array}\]

Transformer, en produits de polynômes du premier degré, les quatre polynômes $E(x), F(x), G(x)$ et $E(x) - F(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fraction rationnelle $y = \dfrac{E(x) - F(x)}{G(x)}$ est (dans un domaine que l'on précisera) égale à la fraction $\dfrac{2x + 1}{5}$.
		\item Résoudre les équations

\begin{center}$y = \dfrac ab$\qquad  et \qquad $y = 0$.\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une droite $x'x$, on porte deux segments consécutifs [AB] et [BC] tels que , AB $= a$ et BC $= 2a$ ($a$ est une longueur donnée).

On trace la droite $(\Delta)$, perpendiculaire en B à $x'x$, et le cercle (O) de diamètre [AC] et de centre O.

La droite $(\Delta)$ rencontre le cercle (O) aux points D et E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [DB] et [DE] en fonction de $a$.
\item Montrer que les triangles ABD et DBC sont semblables.

Évaluer leur rapport de similitude.
\item La parallèle à $x'x$ passant par D rencontre le cercle en D et F.

Montrer que les points E, O et F sont alignés et que DF $= a$.
\item Montrer que [FA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DFE}}$.

\item (FA) coupe $(\Delta)$ en P.

Évaluer le rapport $\dfrac{\overline{\text{PD}}}{\overline{\text{PE}}}.$

Calculer les longueurs des segments [PD] et [PE] en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}