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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Rome}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rome octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un trapèze ABCD de bases telles que AB $= 15$~cm et CD $= 5$~cm.

Les diagonales  sont telles que AC $= 16$~cm et BD $= 12$~cm et se coupent en I.

On trace (CE) parallèle à (DB), qui coupe le prolongement de [AB] en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ACE est rectangle.

Énoncer le théorème sur lequel on s'appuie pour le démontrer.

En déduire que les deux diagonales de ce trapèze sont perpendiculaires.
\item Calculer la hauteur $h$ du trapèze.
\item Calculer les longueurs IA, IB, IC, ID.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Étant donné le triangle ABC rectangle en A et dont les deux côtés de l'angle droit sont tels que AB $= 18$~mm et AC $= 24$~mm, on mène par le milieu M de l'hypoténuse [BC] la perpendiculaire à l'hypoténuse, coupant (AC) en D et (AB) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MC.
\item Démontrer que les triangles DMC et ABC sont semblables et calculer les longueurs des trois côtés du triangle DMC.
\item Calculer BE.
\item Montrer que la quadrilatère EAMC est inscriptible et calculer le rayon du cercle circonscrit.
\end{enumerate}
\end{document}