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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rome}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rome\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère l'expression
\[y= \left(x^2 - 16\right)^2 - (x + 4)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item La décomposer en un produit de facteurs.
\item Calculer sa valeur numérique pour
\[x= 0,\qquad  x = 4,,\qquad  x= 3.\]
\item Résoudre l'équation
\[\left(x^2 - 16\right)^2 - (x + 4)^2 = 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne trois points fixes alignés A, B, C, disposés dans cet ordre.

Soit $D$ la perpendiculaire élevée en C à la droite qui passe par A, B et C.

On mène par A et B deux droites variables perpendiculaires entre elles qui coupent la droite $D$ respectivement en M et N.



\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites AN et BM sont perpendiculaires.

Quel est l'orthocentre du triangle AMN, du triangle BMN ?
\item Démontrer que le symétrique de B par rapport à (NM) se trouve sur le cercle circonscrit au triangle AMN.

Soit B$'$ ce point.
\item Démontrer que les triangles ACN et MCB$'$ sont semblables.

En déduire que
\begin{center}CM $\times$ CN = CA $\times$ CB$'$.\end{center}
et que
\begin{center}CM $\times$ CN = CA $\times$ CB.\end{center}
\item Le cercle de diamètre [MN] coupe la droite (ABC) en I et J.

Démontrer que 
\begin{center}CM $\times$ CN = CI$^2 =$ CJ$^2$.\end{center}
\item Lieu du centre du cercle circonscrit au triangle AMN.
\end{enumerate}
\end{document}