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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Rome}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rome septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne le système d'équations du premier degré à deux inconnues
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad&3x + 4y &=& 12,\\
(2)\qquad&4x - 3y &=& 0.
\end{array}\right.\]

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre ce système.
\item Construire les droites d'équations (1) et (2).
\item La droite d'équation (1) coupe O$x$ en A et O$y$ en B.

Quelles sont les coordonnées des points A et B et du point H, intersection des deux droites ?
\item Calculer AB et OH. En déduire que les droites d'équations (1) et (2) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne sur une droite quatre points A, I, B, C pris dans cet ordre tels que 
\begin{center}AI $= 1$,\quad AB $= 3$,\quad AC $= 9$.\end{center}

On désigne par O le milieu de [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item La médiatrice du segment [BO] coupe le cercle de diamètre [BC] en T.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle BTO ?
		\item Quelle est la nature du triangle ATO ?
	\end{enumerate}
\item Le cercle circonscrit au triangle BTO coupe la tangente en T au cercle de diamètre [BC] en un point K.

Donner une construction simple du point K après l'avoir justifiée.
\item Un point M décrit le cercle de diamètre [BC].

La parallèle à (CM) menée par B coupe (AM) en P{}.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que 
\[\dfrac{\text{AI}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AP}}{\text{AM}}.\]
		\item Déduire de ce qui précède le lieu géométrique du point P{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}