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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère la fonction polynôme $f$ définie par
\[f(x) = (2x + 1)^2 - (3 - x)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $f(x) = - 8$.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{(3x - 2)(2x + 3)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\mathcal{D}_h$, l'ensemble de définition de la fonction $h$.

Montrer que pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}_h$ on peut écrire
\[h(x) = \dfrac{x + 4}{2x + 3}.\]
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations 

\[h(x) = 1,\qquad  h(x) = \dfrac43.\]

		\item Calculer $h\left(\sqrt 2\right)$. 
		
Écrire celte expression de façon à ne plus avoir de radical au dénominateur.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, déterminer un encadrement de $h\left(\sqrt 2\right)$.

En déduire la valeur approchée à $10^{-1}$ par défaut de $h\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g_1$ et $g_2$ les fonctions affines, de $\R$ vers $\R$, définies par
\[g_1(x) = x + 4,\qquad  g_2(x) = 2x + 3.\]

Représenter graphiquement $g_1$ et $g_2$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} d'axes O$x$ et O$y$. 

Calculer les coordonnées du point d'intersection E de ces deux représentations. 

Expliquer comment on peut vérifier graphiquement la solution de l'équation $h(x) = 1$ du \textbf{4.\: b.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit le plan euclidien muni du repère orthonormé
\Oij.

Soit les points
\begin{center}A$(-2~;~-2)$,\qquad  B$(-4~;~4)$,\qquad C(2~;~6) \quad et \quad D(4~;~0).\end{center}

Faire la figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, D) et $d$(A, B).
\item Montrer que l'on a (AB)$\perp$ (AO).
\item Démontrer que (A, B, C, D) est un carré.

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection I des diagonales?

Que peut-on dire du triangle (A, B, D) ?


\item Soit la translation de vecteur $\vect{u}$ :
\[\vect{u} = 2\vect{\imath} -2\vect{\jmath}.\]

Dans cette translation, A a pour image E.

Démontrer que le couple des coordonnées de E est $(0~;~-4)$.
\item Calculer les coordonnées du centre K du cercle circonscrit $\mathcal{C}$ au triangle (B, I, A).

Soit G$(-6~;~2)$. 

Démontrer que G appartient à ce cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}