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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $A$ et $B$ deux applications numériques définies, sur $\R$, par

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3x - 7)^2 -(2x + 5)^2\\
B(x)&=&(2x + 3)^2 - 3(2x + 3)(x - 3).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $A(x)$ et $B(x)$.
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous la forme de produits de facteurs.
\item Calculer $A\left(- \dfrac35 \right)$ et $A\left(2\sqrt 3\right)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations

\begin{center}$A(x) = 0$,\qquad $B(x) = 0$ \qquad et \qquad $A(x) = B(x)$.\end{center}

\item Représenter graphiquement les applications $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f : &x& \longmapsto& 2 - 5x\\
g :&x&\longmapsto& 2x + 3.
\end{array}\]

En utilisant la question 4 , déterminer les coordonnées du point M, intersection des représentations graphiques des deux fonctions.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan.

L'unité est le centimètre. 
On considère les points

\begin{center}A(2~;~1),\qquad B(4~;~0)\qquad  et \qquad  C$(0~;~-1)$\end{center}

et le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}- 2\\1\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du point B par la translation de vecteur $\vect{v}$ ?
\item Calculer les coordonnées du point D, image de C par cette translation.
\item Démontrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un parallélogramme.
\item Calculer $d($A, C) ; $d$(A, B) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Préciser les coordonnées du point E, centre du cercle circonscrit au triangle (A, B, C) et le rayon de ce cercle.
\item Soit F le symétrique du point A par rapport à E.

Montrer que F appartient au cercle circonscrit au triangle (A, B, C). 

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, F, C)?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{P{}. S. :} Ne pas oublier de faire une figure.
\end{document}