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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer 
\[A'(x)  = \dfrac 1x + \dfrac{1}{2x + 1} - \dfrac{2x}{2x^2 + x}.\]

Peut-on calculer $A(x)$ pour toute valeur de $x$ ?

Quelle est la valeur numérique de $A(x)$ pour $x = - \sqrt 3$ ?
\item Factoriser les expressions
\begin{center}$B(x) =(2 - x)^2- (1 - 3x)^2$\quad et \quad  $C(x) = 4x^3+ 4x^2+ x$,\end{center} puis simplifier l'expression
\[P(x)  = A(x) \times \dfrac{C(x)}{B(x)}.\]
\item $P'(x)$ étant l'expression simplifiée, existe-t-il une valeur de $x$ telle que l'on ait 

$P'(x) = - \dfrac12$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère orthonormé, le graphe $(D)$ de la fonction $y = - 4x + 3$.
\item Soit $(D')$ la droite déterminée par les points
A(+ 3~;~+4) et B$(- 3~;~- 2)$. 

Quelle est l'équation de $(D')$ ?
\item M étant le point de $(D)$ d'ordonnée $(- 7)$, quelle est l'abscisse de ce point M ? 

La parallèle à l'axe de ordonnées menée par M coupe l'axe des abscisses en P et la droite $(D')$ en N.

Calculer l'ordonnée de N et la valeur du rapport $\dfrac{\overline{\text{PN }}}{\overline{\text{PM}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit, sur une demi-droite [C$x$), les points B et A tels que CB = BA $= 2R$ ; on trace le cercle de diamètre [AB], de centre O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une tangente (CT) à ce cercle.

Expliquer la construction. Calculer la mesure de CT en fonction de $R$.
\item M étant un point quelconque de [C$x$) et $(\Delta)$ la droite perpendiculaire à [C$x$) en M, la droite (CT) coupe $(\Delta)$ en N.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles CTO et CMN sont semblables et écrire les rapports des côtés homologues.
		\item Dans le cas particulier où le point M est confondu avec A, quelle est la valeur du rapport de similitude ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item T$'$ étant diamétralement opposé à T sur le cercle, on mène la droite T$'$B, qui coupe (CT) en I.
		
Préciser la position de B sur le segment [CO] et en déduire la propriété de (T$'$I) dans le triangle CTT$'$.
		\item On mène par I la parallèle à TT$'$, qui coupe CT$'$ en J.
		
Montrer que les points T, B et J sont alignés et calculer TJ en fonction de $R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}