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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Rouen}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rouen juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit les expressions algébriques 
\begin{center}$A(x) = 2x + 3$\qquad  et \qquad  $B(x) = 4 - x$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $x$ les expressions $A(x)^2, B(x)^2$ et $A(x) \times B(x)$.
		\item Soit $C(x) = A(x)^2 + 6 A(x)B(x) + 9B(x)^2$.
		
Exprimer $C(x)$ en fonction de $x$, en utilisant les résultat trouvés à la question 1.

Montrer qu'on peut obtenir ce résultat directement pour $C(x)$, à l'aide d'une identité remarquable.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $x$ pour que $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 1$.
\item Dans un repère orthonormé (axes rectangulaires, unité: 3 cm sur chaque axe), construire les droites représentatives des variations des fonctions définies par
\begin{center}$y_1 = 2x + 3$ \qquad et \qquad  $y_2 = 4 - x$.\end{center}

Donner la solution graphique de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= a$.

Sur la tangente en A au cercle (O), on prend un point C tel que AC $= \dfrac a2$.

Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (OC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier la relation 
\begin{center}CH $\cdot$ CO = CA$^2$.\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item (CB) recoupe le cercle (O) en D.
		
Comparer les triangles CDA et CAB.

Établir la relation
\begin{center}CB $\cdot$ CD = CH $\cdot$ CO.\end{center}
		\item On trace (HD).
		
Comparer les triangles CDH et COB.
		\item Montrer que les quatre points B, O, H et D appartiennent à un même cercle, $(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [BC], [CD] et [BD] en fonction de $a$.
\item Les tangentes en B et D au cercle (O) se coupent en M. Montrer que le point M appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

Préciser son centre et tracer ce cercle.

En déduire l'alignement des points A, H et M.
\end{enumerate}
\end{document}