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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rouen juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit 
\[A(x) = (x + 3)\left(2x^2 + 8\right) - \left(x^2 + 4x + 4\right)(x - 2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de trois facteurs
du premier degré.
\item Soit $F(x) = \dfrac{A(x)}{2(- x + 2)\left(x^2 - 4\right)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition, c'est-à-dire
l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ est définie ?
		\item Simplifier $F(x)$ sur ce domaine; on obtient la fraction rationnelle $F_1(x)$.
		
Calculer $F_1\left(\sqrt 3 \right)$, valeur exacte de $F_1(x)$
pour $x =  \sqrt 3$ (donner la réponse avec un dénominateur rationnel).
		\item Est-il possible de choisir $x$ pour que $F(x) = - 1$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormé $(x'x,~y'y)$.
		
Tracer les droites $(D)$ et $(D')$ représentatives des fonctions définies par 
\begin{center}$y = x + 4$\qquad  et \qquad $y = - 2x + 4$.\end{center}
 $x$ étant une variable réelle.
		\item Soit A le point de $(D)$ d'abscisse (+ 8) et A$'$ le point de $(D')$ d'abscisse (. 8).
		
Calculer les ordonnées respectives des points A et A$'$ et démontrer que le milieu de [AA$'$] appartient à $x'x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit (O) le demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 12$~cm.

Sur le rayon [OB] on porte OH $= 4$~cm.

Par le point H on élève la perpendiculaire à (AB), qui coupe ce demi-cercle en C.

La tangente en C rencontre la droite (AB) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des segments [OD], [HD], [HC] et [CD].
\item Montrer que les triangles (DCB) et (DAC) sont semblables.

Évaluer le rapport de similitude du triangle (DCB) au triangle (DAC) ; quel rapport trigonométrique représente-t-il pour l'angle A du triangle (ABC) ?
\item La droite (AC) rencontre en E la perpendiculaire
à (AD) menée en D.

Montrer que DC = DE,
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les quatre points B, C, E et D sont sur un même cercle, dont on précisera la position du centre. (Construire ce cercle.)
		\item Montrer que les triangles (HCB) et (DEB) sont semblables.
		\item Montrer que la tangente en B au demi-cercle de diamètre [AB] est une bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CBE}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}