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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rouen juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ et $g$ les applications polynômes suivantes :
\[\begin{array}{l l c l}
f :& \R&\to&\R,\\
&x &\longmapsto& f(x) = \dfrac{19}{4} x^2 - 14x + 16,\:\text{et}\\
g :& \R&\to&\R,\\
&x &\longmapsto&g(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + 2x - 3.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0),\: g\left(2\sqrt 3\right), 
g\left(2 + \sqrt 3\right)$ et $g(- 1,2)$.
		\item Soit $N(x) = 4f(x) - 12g(x)$.
		
Réduire et ordonner cette expression $N(x)$, puis la factoriser.
	\end{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction rationnelle
\[\begin{array}{l l c l}
H : &\R&\to &\R,\\
&x&\longmapsto& H(x) = \dfrac{4(2x - 5)^2}{(5x + 2)^2 - (x + 12)^2}
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $(5x + 2)^2 - (x + 12)^2$.
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}_H$, de $H$.
		\item Trouver $H'(x)$ l'expression simplifiée, de $H(x)$.
		
Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}_{H'}$, de $H'$.
		\item Résoudre les équations suivantes:
\[x \in \mathcal{D}_H \:\: H(x) = -1,\\:\:
x \in \mathcal{D}_H :\: H(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et M de coordonnées respectives :
\begin{center}A$(- 4~;~6)$, \quad B(4~;~2) \quad et \quad M$(x~;~0), \: (x \in \R)$.\end{center}

\emph{Notations} : $d$(A, B) = AB.

I est le point tel que $\vect{\text{OI}}= \vect{\imath}$ ;

H est l'image de A par la projection orthogonale sur la droite (OI).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer x pour que le triangle (ABM) soit
rectangle en M.
\item On désigne par M$'$et M$''$ les points de coordonnées respectives (2~;~0) et $(- 2~;~0)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point C image de B dans la symétrie orthogonale d'axe (M$'$M$''$).
		\item Trouver les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AM}'}$.

Vérifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{AM}'} = k \vect{\text{AC}}$.

Que peut-on en conclure pour les points A, M$'$ et C ?
	\end{enumerate}
\item Vérifier que
\begin{center}$d$(A, M') + $d$(M$'$, B) $\leqslant d$(A, M$''$) + $d$(M$"$, B).\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{AM}"\text{H}}$.
\item En déduire une valeur approchée par défaut de la mesure en grades de $\widehat{\text{AM}"\text{H}}$.
\end{enumerate}
\end{document}