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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par: 

\[f : \begin{array}{l  c l}
\R&\to \R\\
x&\longmapsto&(2x - 3)^2 - (x - 5)^2
\end{array}\qquad
g : \begin{array}{l  c l}
\R&\to \R\\
x&\longmapsto&- 4(x + 2) + 3x(x + 2)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item En développant si nécessaire $f(x)$ et $g(x)$, résoudre dans $\R$ les équations:
\[g(x) = 0\:;\quad  f(x) = g(x)\:;\quad f(x) = - 16.\]

\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par
$h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$.
		\item Montrer que, pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$ on a $h(x) = \dfrac{3x - 8}{3x - 4}$.
		\item Calculer quand cela est possible 
		
$h\left( - \dfrac32\right)\: ;\quad  h(-2) \:;\quad h\left(\sqrt 2\right)$ et mettre ce dernier résultat sous la forme $a + b\sqrt 2$ avec $a \in \R$ et $b \in \R$.
		\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, trouver un encadrement à $10^{-2}$ près de $h\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[\dfrac{3x - 8}{3x - 4} = 1.\]

On donnera : 
	\begin{enumerate}
		\item une résolution par le calcul. 
		\item une résolution graphique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les points 
\begin{center}A$(-2~;~8)$\quad  B(3~;~3) \quad C$(-5~;~3)$\quad  D$(-5~;~5)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OB}}$ et $\vect{\text{DA}}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, O, D) ?
\item Montrer que les droites (OB) et (AB) sont orthogonales.

Précisez la nature du quadruplet (A, B, O, D).
\item Calculer les coordonnées du milieu I de (B, D).
\item Calculer les distances $d$(B, D), $d$(D, C), $d$(C, B).

Quelle est la nature du triangle (DBC) ?
\item Démontrer que les cinq points O, A, B, C, D sont situés sur un même
cercle.

Quel est son centre ? 

Calculer son rayon.
\item Soit E le symétrique de C par rapport à I.

Démontrer que les droites (CE) et (OA) sont orthogonales puis que
(O, C, A, E) est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}