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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Rouen }
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes suivantes définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&f(x) = 15\left(4x^2 - 3x\right)\\
g :&\R&\to&\R\\
&x &g(x) = 16x^2 + 9 - 24x.\\
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations
\[f(x) = 0,\qquad  g(x) = 1.\]

\item Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles des applications
bijectives ? Expliquer.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par
\[\begin{array}{l l c l}
h :&\R&\to&\R\\
&x&\mapsto&h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}.
\end{array}\]

Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$ ?
\item Montrer que pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$, \:$h(x)$ se
met sous la forme simplifiée $\dfrac{4x - 3}{15x}$.

Calculer $h(2), \: h\left(- \dfrac15\right)$.
\item Calculer $h\left(\sqrt 3 - 1\right)$.

On donnera une valeur exacte avec dénominateur rationnel, puis une valeur approchée par défaut à $10^p$ près ($p$ minimal) sachant que
\[1,732 < \sqrt 3 < 1,733.\]

\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points:
\begin{center}A(2~;~6),\quad B(4~;~10), \quad C(12~;~6).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure (on prendra pour unité le
centimètre). Cette figure sera complétée au cours du problème.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Trouver les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
		\item En déduire que (A, B, C) est un triangle rectangle en B.
	\end{enumerate}
\item Trouver les coordonnées du centre I du cercle $C$ passant par les points A, B et C.
\item Trouver la valeur du rayon $R$ de $C$.
\item Trouver les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme. Préciser la nature de (A, B, C, D).
\item Placer les points B$'$(4~;~2) et D$'$(10~;~10).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B$'$ est le symétrique de B par
rapport à la droite (AC).
		\item Montrer que D$'$ est le symétrique de D par
rapport à la droite (AC).
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B$'$, C, D$'$) ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}