\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rouen juin 1985},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1985}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x) = (2x - 3)(x + 3)- 9 + 4x^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ et montrer que, quel que soit le
réel $x$,

\[f(x) = 3(2x - 3)(ax + b),\]

avec $a$ et $b$ deux entiers relatifs que l'on précisera.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$,\: $f(x) = 0$.
		\item Résoudre dans $\R$,\: $f(x)= - 18$.
	\end{enumerate}
\item Étudier suivant les valeurs de $x$, le signe de $2x - 3$ et celui de $x + 2$.

Faire un tableau donnant le signe de $f(x)$.
\item On pose

\[y = \sqrt{3(2x - 3)(x + 2)}\]

	\begin{enumerate}
		\item À quelles conditions sur $x$ cette expression a-t-elle un sens ?
		
Soit $D$ l'ensemble des réels tels que $y$ ait un sens. 

Écrire $D$ sous forme de la réunion de deux intervalles.
		\item On considère l'application $g$ de $D$ dans $\R$ définie par
		
\[g(x) = \sqrt{3(2x - 3)(x + 2)}\]

Calculer $g( -2)$,\: $g\left(\dfrac32\right)$,\: $g\left(\dfrac52\right)$.

$g$ est-elle une bijection de $D$ dans $\R$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère \Oij{} orthonormé, on considère les points 

\begin{center}A(1~;~7),\qquad  B(4~;~8)\quad et \quad C(3~;~1).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(A, B); $d$(A, C) ; $d$(B, C)
		\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point D tel que (A, B, D, C) soit un parallélogramme. Justifier cette construction.
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées de D.
		\item Démontrer que (A, B, D, C) est un rectangle.
	\end{enumerate}
\item On considère le point J de coordonnées (8~;~6).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
		\item Montrer que la droite (BD) est médiatrice du segment [IJ].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{ACD}}$ et $\tan \widehat{\text{ACD}}$.
		\item Déterminer la mesure approchée à 1 degré près par excès de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
	\end{enumerate}
On donne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$ &$\tan a$\\ \hline
$26\degres$ & 0,488\\ \hline
$27\degres$ & 0,510\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}