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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1986}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$  définie par :

\[f(x) = (x - 1)^2 - 1.\]

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$, puis résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item Calculer $f(2,5)\:;\quad  f\left(\dfrac34\right)\:;\quad  f(- 1)$.
\item Soit $A = \sqrt{121} - 2\sqrt{112} + \sqrt{63} - \sqrt{81}$.

Mettre l'expression $A$ sous la forme $a + b\sqrt 7$, où
$a$ et $b$ sont des entiers relatifs.

Donner une valeur approchée de $f(A)$ à $0,001$~près par excès.

On donne $\np{2,6457} < \sqrt 7 < \np{2,6458}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij, (OI = OJ = 1 cm).

x -2 0
,(x) 0
Soient les applications $g$ et $h$ de $\R$ dans $\R$ définies
par :

\[\begin{array}{l c l}
g(x)&=& - 0,5x + 2\\
h(x)&=& \phantom{-}1,5x.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 2$	&0	&\\ \hline
$g(x)$	&		&	&0\\ \hline
$h(x)$	&		&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la représentation graphique $\left(D_1\right)$ de $g$, puis la représentation graphique $\left(D_2\right)$ de $h$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : 

\[- 0,5x + 2 = 1,5x.\]

\item Soit M le point d'intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Quelles sont les coordonnées de M ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

On donne la figure ci-contre à l'échelle $\dfrac14$, dont les longueurs réelles sont :

AM $= 9$ cm ; MB $= 6$ cm ; BH $= 9$ cm ; HC $= 16$ cm ; NC $= 8$ cm.

Les angles en D et H sont des angles droits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droites (MN) et (BC) ? 

Justifier votre réponse.
\item Énoncer la propriété de Thalès, et en déduire AN et DN.

\begin{center}
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(26,13)
%\psgrid[subgriddiv=1]
\pspolygon(0.2,0.2)(25.2,0.2)(9.2,12.2)%BCA
\psline(9.2,12.2)(9.2,0.2)%AH
\psline(5.3,7.2)(16,7.2)%MN
\psframe(9.2,0.2)(9.4,0.4)
\psframe(9.2,7.2)(9.4,7.4)
\uput[u](9.2,12.2){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](25.2,0.2){C} \uput[d](9.2,0.2){H}
\uput[ul](5.3,7.2){M} \uput[ur](16,7.2){N} \uput[ul](9.2,7.2){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item A partir des longueurs réelles données, reproduire la figure à l'échelle $\dfrac12$.
\item Calculer AH dans le triangle (ABH).
\item Le triangle (ABC) est-il rectangle en A ? 

Justifier votre réponse.
\item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$, puis calculer
en degrés la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABH}}$ par défaut à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}