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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1988 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction
irréductible 

\[-\dfrac32 + \dfrac53\:;\quad \dfrac25 - \dfrac34\:;\quad \dfrac58 \times \left(- \dfrac27 \right)\:;\quad  \dfrac53 : \dfrac25.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$A = \sqrt{363} + 5\sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot \sqrt{18} - 3\sqrt{12}$.

Mettre $A$ sous la forme $a + b\sqrt{n}$ avec $a,\: b$ et $n$ nombres
entiers positifs.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\[8x -1= 1,2(x + 2)\qquad x^2 = 32\qquad 2x^2 = - 5.\]


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Écrire l'expression $\dfrac{3\sqrt 2}{3 + \sqrt 3}$ sans radical  au dénominateur
et simplifier.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCDEFGH est un cube d'arête $4$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3.6,3.5)
\psframe(0.2,0.2)(2.5,2.5)
\psline(2.5,0.2)(3.2,0.8)(3.2,3.1)(2.5,2.5)%BCGF
\psline(3.2,3.1)(0.9,3.1)(0.2,2.5)%GHE
\psframe(0.9,0.8)(1.1,1)
\psline[linestyle=dashed](3.2,0.8)(0.9,0.8)(0.9,3.1)(2.5,0.2)(0.9,0.8)(0.2,0.2)%CDHBDA
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.5,0.2){B} \uput[r](3.2,0.8){C} \uput[l](0.9,0.8){D}
\uput[l](0.2,2.5){E} \uput[dr](2.5,2.5){F} \uput[ur](3.2,3.1){G} \uput[u](0.9,3.1){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur BD.
\item Dans le triangle DBH rectangle en D, calculer la valeur
exacte de la longueur BH.
\item En déduire le cosinus de l'angle $\widehat{\text{B}}$ dans le triangle DBH,
puis calculer la valeur approchée à un degré près par défaut
de la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit ABCD un parallélogramme non aplati de centre O. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que pouvez-vous dire des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{OC}}$ ?
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{BC}} + \dfrac12 \vect{\text{AC}}$ (on ne demande pas de justifier cette construction).

Quelle est la nature du quadrilatère AOED ?
\item Montrer que la droite (EO) coupe le segment [AB] en son milieu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un vidéo-club propose deux formules de location de cassettes :

\begin{itemize}
\item formule A : abonnement de un an pour $50$~F, ensuite $25$~F par cassette louée ;
\item formule B : sans abonnement, $40$~F par cassette louée.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant après l'avoir reproduit :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ est le nombre de cassettes louées en un an&0 &2&5 &12\\ \hline
$A(x)$ représente la dépense avec la formule A&&&&\\ \hline
$B(x)$ représente la dépense avec la formule B&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour $x$ réel positif, $A$ est l'application qui, à $x$, fait correspondre $A(x)$ et $B$ est l'application qui, à $x$, fait correspondre $B(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $A(x)=25x + 150$ et $B(x) = 40x$.
		\item Dans un repère orthogonal représenter graphiquement le applications $A$ et $B$.
		
(On prendra 1~cm pour une cassette en abscisse et 1~cm pour $50$~F en ordonnée.)
	\end{enumerate}	
\item Pour quel nombre de cassettes, le prix des formules $A$ et $B$ est-il le même ?

Justifier la réponse.
\item On dispose de $325$~F{}.

Quelle est la formule qui permet de louer le plus grand nombre de cassettes ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}