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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1990 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des expressions suivantes : 

\[a = \dfrac38 - \dfrac32 \; \quad b = \dfrac85 + \dfrac73\:; \quad c = \dfrac{20}{9} \times \dfrac{12}{25}\: : \quad d = \dfrac{49}{5} : 7 \: ; \quad e = 5\sqrt 3 - 2\sqrt{27}.\]


\item Développer a et réduire l'expression obtenue 
$a = (3x - 2) - x(8x - 12).$

Calculer la valeur exacte de $a$ pour $x = 3 \sqrt 5$.
\item Factoriser $b$

\[b= (3x + 1)(1 - x) - (3x + 1)^2.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une enquête réalisée auprès de $500$ personnes portait sur le nombre de films vus au cinéma, au cours du dernier mois.

Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de films vus &Effectifs&Fréquence&Fréquence exprimée en \,\%\\ \hline
 0&110 &0,22&22\,\%\\ \hline
1&170&&\\ \hline
2& 100&&\\ \hline
3&120&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Reproduisez le tableau sur votre feuille et complétez-le.
\item Combien de personnes ont vu \textbf{au moins} un film ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Le solide représenté ci-contre en perspective, est une pyramide dont la base est un triangle équilatéral
ABC de $5$~cm de côté.

La hauteur (SA) de cette pyramide mesure $12$~cm, les triangles SAB et SAC sont rectangles en A.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,7.5)
%\psgrid
\psline(1.7,0.2)(3,2)(0.2,7)(1.7,0.2)(0.2,2)(0.2,7)%BCSBAS
\psline[linestyle=dashed](0.2,2)(3,2)
\psframe(0.2,2)(0.4,2.2)
\psline(0.2,2.3)(0.4,2.1)(0.4,1.8)
\psline(1.5,2.1)(1.7,1.9)\psline(2.3,1.2)(2.4,1.)\psline(0.9,1)(1.1,1.2)
\uput[l](0.2,2){A} \uput[d](1.7,0.2){B} \uput[r](3,2){C} \uput[u](0.2,7){S} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire, en vraie grandeur, sur votre feuille le triangle ABC.
		\item Soit H le milieu de [BC]. Calculer la valeur exacte de AH.
		\item En déduire la valeur exacte de l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABC.
\item  Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$.

En déduire une valeur approchée à 1 degré près de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$.
\end{enumerate}

Remarque : La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur votre feuille un triangle ABC tel que AB $= 6$ cm ; BC $= 8$ cm et AC~$=~10$~cm.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item Sur le segment [BC) on place le point l tel que:

CI $= \dfrac14$ CB.

La parallèle à la droite (AB) passant par I coupe la droite (AC) en J. 

Compléter la figure tracée en 1. a.

Calculer CJ et IJ.
\item  Sur le segment (CB) on considère maintenant le point M tel que : CM $= x$.

La parallèle à la droite (AB) passant par M coupe la droite (AC) en K.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer MK en fonction de $x$.
		\item Montrer que l'aire du triangle CMK est $\dfrac{3 x^2}{8}$.
		\item Trouver la valeur de $x$ pour que l'aire du triangle CMK soit la moitié de celle du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}