\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rouen juin 1991},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer (on donnera les valeurs exactes des résultats sous la forme la plus simple) :

\[A = 11 - \dfrac73  \times \dfrac25 + \dfrac85, \qquad B = \left[2 + \dfrac73\right]\left[1 - \dfrac85\right]\]

\item Écrire sous la forme $a + b\sqrt c$ avec $a,\: b$ et $c$ entiers relatifs : 

\[C = \left(1  - \sqrt 7\right)^2\]

\item Factoriser l'expression:

\[D = (x - 3)^2 - 9\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère ci-dessous, on a tracé les droites
d'équations :

\[\begin{array}{l l}
y = x&\quad y = x - 2\\
y= -\dfrac12 x + 1&\quad y = 2x + 1
\end{array}\]

Attribuer à chacune des droites $\Delta_1,\: \Delta_2,\:\Delta_3,\: \Delta_4$ l'équation qui lui convient.

		\item Que peut-on dire des droites $\Delta_1$ et  $\Delta_2$ ? Justifier cette affirmation.
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-5.5)(5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,xsubticks=5,ysubticks=5]{->}(0,0)(-4,-5.5)(5,4.5)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{x}\uput[dr](4,4){$\Delta_4$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{x 2 sub}\uput[dr](4,2){$\Delta_3$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{1 0.5 x mul sub}\uput[dr](-3,2.4){$\Delta_2$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-4}{5}{2 x mul 1 add}\uput[dr](1.5,4){$\Delta_1$}
\uput[dr](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner un triangle ABC rectangle en B et placer le point I du segment [AC] sachant que:
CI $= \dfrac13$ CA.
		\item Tracer le cercle de diamètre [BI].
Il coupe la droite (BC) en J.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle BIJ est rectangle.
		\item Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (IJ) ?
		
 Justifier la réponse.
	\end{enumerate}	
\item On suppose maintenant que AB $= 5$ cm et $\widehat{\text{ACB}} = 35\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer IJ.
		
On justifiera les calculs et on donnera la valeur exacte du résultat.
		\item Déterminer une valeur approchée à $0,1$ près, de la 
tangente de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
		\item Calculer BC. 
		
On donnera une valeur approchée à 0,1 cm près du résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} : Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{\Large Questions enchaînées}

\medskip

Une lampe diffuseur de parfum a la forme d'une pyramide régulière SABCD de base carrée.

Ses arêtes latérales mesurent $14,7$ cm et le côté de sa base mesure $12$~cm.

Elle est représentée par le schéma suivant:

\begin{center}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.2,-1)(3.2,4)
\psline(0,3.6)(-2.9,-0.7)(0.8,-0.7)(0,3.6)(2.9,0.7)(0.8,-0.7)%SABSC
\psline(-0.7,2.5)(0.2,2.5)(0.75,2.9)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](0,3.6)(-0.8,0.7)(0.8,-0.7)%SDB
\pspolygon[linestyle=dashed](-2.9,-0.7)(2.9,0.7)(-0.8,0.7)%ACD
\pspolygon[linestyle=dashed](-0.7,2.5)(0.75,2.9)(-0.2,2.9)%A'C'D'
\psline[linestyle=dashed](0.2,2.5)(-0.2,2.9)%B'D'
\uput[d](-2.9,-0.7){A} \uput[d](0.8,-0.7){B} \uput[r](2.9,0.7){C} \uput[l](-0.8,0.7){D}
\uput[l](-0.7,2.5){A$'$} \uput[r](0.2,2.5){B$'$} \uput[r](0.75,2.9){C$'$} \uput[ul](-0.2,2.9){D$'$}
\uput[d](0,0){H} \uput[u](0,3.6){S}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-3.2,-0.7)(-3.2,2.5)\rput{90}(-3.4,0.9){\small réservoir}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-3.2,2.5)(-3.2,3.6)\rput{90}(-3.4,3.05){\small bouchon}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur de la diagonale [DB] du carré ABCD.
		\item Montrer, par le calcul, qu'une valeur approchée au cm près, de la mesure de la hauteur de la pyramide SABCD est $12$~cm. 
		
On utilisera cette valeur dans la suite du problème.
	\end{enumerate}	
\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\item La partie supérieure SNB$'$C$'$D$'$ qui abrite le bouchon est une réduction de la pyramide SABCD. Sa hauteur est $\dfrac14$ de la hauteur de la pyramide SABCD.

Calculer son volume.
\item La partie inférieure sert de réservoir au liquide parfumé.

Calculer le volume de liquide que peut contenir la lampe.
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} : On peut utiliser le résultat de la question 1. b., sans l'avoir trouvé, pour continuer le problème.
\end{document}