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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1993}
\rfoot{\small Rouen }
\lfoot{\small juin 1993}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen  juin 1993 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer la valeur exacte des expressions suivantes (donner le résultat $A$ sous forme d'une fraction simple).

\[A= \dfrac49 - 2 \times \dfrac{13 + 3}{13 - 1} \qquad N = 18 - 16 : \dfrac47.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire l'expression $C$ suivante sous la forme $a . 10^n$ où $a$ et $n$ sont des entiers :

 \[C = \dfrac{2 \times 10^7 \times 35 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Écrire sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers :

\[D = \sqrt{700} 4\sqrt{28} + 5\sqrt 7\qquad E = 3 \times \sqrt{\dfrac{32}{7}} \times \sqrt{\dfrac{35}{2}}.\]

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Observer les figures suivantes puis calculer, en précisant brièvement la méthode utilisée, les mesures manquantes. (On ne demande pas de reproduire les figures).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,0.8)(4.3,0.8)(0.3,2.6)
\psframe(0.3,0.8)(0.5,1)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.6)(4.3,0.6)\uput[d](2.3,0.6){12}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.1,0.8)(0.1,2.6)\uput[l](0.1,1.7){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,2.8)(4.3,1)\uput[ur](2.3,1.9){$x$}
%%%%%%%
\pspolygon(5.3,0.8)(9.3,0.8)(5.3,2.6)
\psframe(5.3,0.8)(5.5,1)
\psline(7.2,0.8)(7.2,1.74)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.3,3.14)(9.3,1.5)\uput[ur](7.3,2.3){11}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.2,1.94)(9.3,1)\uput[ur](8.25,1.45){5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(7.2,0.6)(9.3,0.6)\uput[d](8.25,0.6){4}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.3,0.2)(9.3,0.2)\uput[d](7.3,0.2){$y$}
\uput[l](7.2,1.27){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\begin{center}
\og \emph{Vedette de Bréhat} \fg
\end{center}

La distance de l'embarcadère E de l'Arcouest au Port Clos B de Bréhat est $1,852$~km. 

Une vedette V se trouve au large de l'embarcadère. Des visées ont permis d'établir que l'angle $\widehat{\text{EBV}}$ mesure $35\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après observation de la carte ci-après, trouver par le calcul, en utilisant le triangle EBV rectangle en V, la distance EV, à 1 m près, de la vedette V à l'embarcadère E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,5.4)
\pspolygon[linestyle=dashed](1,0.3)(3.8,1)(2.8,4.2)%EVB
\uput[l](1,0.5){E} \uput[d](1,0.3){(Embarcadère)}
\uput[r](3.8,1){V} \uput[d](3.7,0.8){(Voilier)}
\uput[u](2.8,4.2){B}\uput[u](2.8,4.5){(Port Clos de Bréhat)}
\rput{107}(3.8,1){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(2.8,4.2){0.45}{246}{285}\rput(2.73,3.45){$35\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Une autre vedette \og l'Algue \fg{} effectue, par basse-mer, un grand tour de l'île de 21 km en 3/4 d'heure.

Quelle est la vitesse moyenne, en km/h, de cette vedette ?

\item Cette même vedette fait une petite promenade de $40$ minutes autour de l'île, par pleine mer, à la vitesse moyenne de $24$ km/h.

Quelle est la longueur de cette croisière ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,9.4)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=vlines](0.7,7.2)(1.7,8.2)(8.1,8.2)(8.1,6.8)(0.7,6.8)%HABCG
\psline(8.1,6.8)(8.1,0.5)(0.7,0.5)%CLJ
\psline(0.7,2.1)(1.7,2.1)%FE
\psline(1.7,6.8)(1.7,0.5)%DK
\psline(0.7,6.8)(0.7,0.5)%GJ
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,6.8)(1.7,6.8)(1.7,2.1)(0.7,2.1)%GDEF
\psline[linestyle=dashed](0.7,7.2)(0.7,8.2)(1.7,8.2)%HIA
\psframe(8.1,6.8)(7.9,7)
\psframe(0.7,6.8)(0.9,7)\psframe(0.7,2.1)(0.9,2.3)\psframe(1.7,2.1)(1.5,2.3)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.9,6.8)(1.9,2.1)\uput[r](1.9,4.45){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,0.3)(1.7,0.3)\uput[d](1.2,0.3){2,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.7,0.3)(8.1,0.3)\uput[d](4.9,0.3){9,95}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.3,8.2)(8.3,6.8)\uput[r](8.3,7.5){2,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(8.3,6.8)(8.3,0.5)\uput[r](8.3,3.65){11}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,7.2)(0.2,8.2)\uput[l](0.2,7.7){1,5}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.7,8.7)(1.7,8.7)\uput[u](1.2,8.7){1,5}
\uput[ul](0.7,8.2){I} \uput[ur](1.7,8.2){A} \uput[u](8.1,8.2){B} \uput[ul](0.7,7.2){H}
\uput[l](0.7,6.8){G} \uput[dl](1.7,6.8){D} \uput[dl](8.1,6.8){C} \uput[l](0.7,2.1){F}
\uput[dr](1.7,2.1){E} \uput[l](0.7,0.5){J} \uput[ur](1.7,0.5){K} \uput[dr](8.1,0.5){L}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur le plan ci-dessus, l'unité de longueur est le mètre. L'unité d'aire est le mètre carré.

Le rectangle DCLK représente une maison. On veut faire construire une terrasse dont le prix n'excède pas \np{12000}~francs.

Cette terrasse est constituée de deux parties :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]la partie \no 1 (BCGHA) hachurée sur le plan,
\item[$\bullet~$]la partie \no 2 (rectangle DEFG)
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle AIH.
		\item Montrer que l'aire de la partie \no 1 est égale à $30$ m$^2$.
	\end{enumerate}	
\item  E est un point du segment [DK]. On pose DE $= x$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire du rectangle DEFG en fonction de $x$.
		\item Exprimer l'aire de la terrasse en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Le prix de revient de la terrasse est : $240$ francs le mètre carré.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le prix $P(x)$ de la terrasse s'écrit : $P(x) =600x + \np{7200}$.
		\item Quel est le prix de la partie \no 1 ?
		\item Quel est le prix de la terrasse maximale (c'est-à-dire lorsque E et K sont confondus) ?
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal le prix de la terrasse en fonction de $x$.

(Sur l'axe des abscisses, 1 cm représente 1 mètre; sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente \np{1000} francs),
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par une lecture graphique, les valeurs de la distance $x$ telles que le prix de la terrasse soit inférieur ou égal à \np{12000}~francs.
		\item Quel calcul permettrait de retrouver ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}