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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Rouen}}
\rfoot{\small{septembre 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rouen septembre 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser les expressions suivantes : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (4x - 1)(x - 2) - (2 - x)(3 + x) ;\\
B(x) &=&(4x + 4)^2 - (2 - x)^2.
\end{array}\]
		\item Indiquer les valeurs numériques de $x$ pour lesquelles la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$ est calculable (c'est-à-dire indiquer l'ensemble de définition de cette fraction).
		
Calculer la valeur numérique de $F(x)$ pour la valeur $x = 2$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre les équations 
\begin{center}$A(x) = 0$ \qquad et \qquad $B(x) = 0$.\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement les variations des fonctions
\begin{center}$y = x - 2$ \qquad et \qquad $y = x + 2$\end{center}

dans un système d'axes perpendiculaires, l'unité de longueur étant la même sur les deux axes (c'est-à-dire construire les graphiques des fonctions

\begin{center}$x\longmapsto y = x + 2$ \qquad et \qquad $x \longmapsto y = x + 2$\end{center}
 dans un repère orthonormé).
		\item Que peut-on dire des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ obtenues ?
		\item Soit $(\Delta)$ la droite parallèle à $\left(D_1\right)$ et passant par le point K de coordonnées $x = 2$ et $y = 2$.

Déterminer l'équation de $(\Delta)$ [c'est-à-dire déterminer la fonction dont le graphique est $(\Delta)$].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle rectangle isocèle ABC (la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ est $90\degres$ et AB = AC) et M un point quelconque du segment [AC], entre A et C.

On considère le demi-cercle de centre O, de diamètre [AM], situé du même côté que B par rapport à la droite (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (BA) est tangente en A à ce demi-cercle.

Soit T le point de contact de la tangente, autre que (BA), issue de B.

Que représente la droite (BO) pour le triangle ABT ?

I étant le milieu de [AT], en déduire que les trois points B, I et O sont alignés.
\item Démontrer que les triangles BIT et AIO sont semblables.

En déduire que
\begin{center}AI$^2 =$ IB $ \times $ IO.\end{center}
\item Démontrer que les triangles ATM et BIT sont semblables.

Écrire les rapports de similitude.

En déduire que les triangles MAB et ITM sont semblables.
\item [AB] et [AC] ayant pour longueur $a$ et [AM] ayant pour longueur $\dfrac a2$, calculer les longueurs BO, BI et AI.
\end{enumerate}
\end{document}