\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1962},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rouen}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Rouen~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes :

\[A(x) = (3x - 1)^2 - (6x - 2)+ \left(9x^2 - 1\right)\]

\[B(x) = (x + 2)^2- (2x - 3)^2.\]

\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Calculer $x$ pour que $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 1$.
\item Par rapport à un système d'axes orthonormés, construire les graphiques $(D_1)$ et $(D_2)$ des fonctions déterminées par 

\[y = 3x - 1 \quad \text{et par} \quad y = - x + 5.\]

\item L'axe des abscisses est coupé en M par $(D_1)$ et en N par $(D_2)$. 

Calculer les abscisses des points M, N et I milieu du segment [MN].
\item $(D_1)$ coupe l'axe des ordonnées en B.

Déterminer la fonction dont la droite (BI) est le graphique.
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un cercle $(C)$ de centre O, de rayon $R$, [OA] et [OB] deux rayons perpendiculaires, I le milieu de [OB] ; on trace la droite (AI) et la tangente en B au cercle $(C)$ qui se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles IBM et IOA.

Exprimer la longueur MB en fonction de $R$ et en déduire la puissance de M par rapport au cercle $(C)$.
\item Soit H la projection orthogonale de M sur la droite (AO) ; montrer que H appartient au cercle $(C)$.

La droite (AM) recoupe le cercle $(C)$ en K ; on trace la droite (HK).

Calculer les longueurs MA, MK et KH en fonction de $R$.
\item Les droites (HK) et (OB) se coupent en P{}.

Démontrer la similitude des triangles MBI et POH.

En déduire la longueur de OP en fonction de $R$.
\item Les droites (PM) et (AO) se coupent en Q.

Calculer la longueur de [PQ] et la puissance de Q par rapport au cercle $(C)$ en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}