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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rouen septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

On donne les applications de $\R$ dans $\R$ définies par : 
\[\begin{array}{l}
f : x \longmapsto f(x) =4 - 9x^2 + (6x + 4)(x - 3)\\
g : x \longmapsto g(x) = (3x + 2) (2x - 7) - 3x - 2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et $g(x)$ que l'on écrira sous forme de polynômes
ordonnés suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item  Soit $h$ la fonction rationnelle définie par:
\[h : x \longmapsto h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\]

Donner l'ensemble $D$ de définition de $h$ et, dans cet ensemble, écrire $h(x)$ sous une forme plus simple.
\item On donne la fonction rationnelle $H$ telle que :
\[H(x) =\dfrac{x + 4}{ 2(x - 4)}.\]

Calculer $H(2)$,\: $H\left(- \dfrac13\right)$,\: $H\left(2\sqrt 3\right)$ (on écrira le dernier résultat sous la forme la plus simple possible et sans radicaux au dénominateur).
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on
\[H(x) =1, \qquad  H(x) =0,\qquad H(x) = - \dfrac47 ?\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Nota :} les questions 4 et 5 sont indépendantes des questions 2 et 3 (la question 1 est indépendante de toutes les autres).

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les
points:
\begin{center}A(3~;~1),\qquad B$(6~;~- 2)$,\qquad  C(9~;~4)\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer ces points.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AC}}$,\: $\vect{\text{BC}}$.
\item Soit M le point de la droite (AB) tel que :
\[\dfrac{\overline{\text{AM}}}{\overline{\text{AB}}} = \dfrac13.\]

Calculer les coordonnées de M .
\item On trace par M la parallèle à la droite (AC) qui coupe la droite (BC) en N.

Calculer $\dfrac{\overline{\text{CN}}}{\overline{\text{CB}}}$.

Calculer les coordonnées de N.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que (ACBD) soit un parallélogramme.
\item Montrer que les droites AB et CD sont orthogonales.

En déduire la nature du parallélogramme (ACBD).
\item Calculer les distances AC, BC, BD, AD.
\end{enumerate}
\end{document}