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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On donne les applications $f$ et $g$ définies de $\R$ dans $\R$ par :
\begin{center}$f(x) = 2x- 3$\quad et \quad $g(x) = 4x + 1$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire:
\[[f(x)]^2, \quad f(x) \times g(x),\quad g \circ f(x), \quad (g \circ f = f \:\text{suivie de } g) \]
\item Factoriser:
\[h(x) = [f(x)]^2 - [g(x)]^2.\]

Calculer : $h\left(\dfrac13\right),\: h(- 0,2)$.
\item On pose $r(x) = \dfrac{f(x)}{2x \times g(x)}$.

Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}$ de l'application $r$.

Résoudre dans $\mathcal{D}$ : $r(x) = 1$.
\item Calculer $r\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$.
\item Un plan étant muni d'un repère \Oij, tracer les représentations graphiques $D_1$ de $f$ et $D_2$ de $g$.
\begin{center}$x \longmapsto f_1(x) = 2x - 3$\quad et \quad $x \longmapsto 4x + 1$.\end{center}
\item Résoudre dans $\R$ : $f(x) = g(x)$.

Expliquer comment on peut vérifier le résultat à l'aide du graphique.
\item Résoudre dans $\R$ : $f(x) \geqslant g(x)$.

Expliquer comment on peut déterminer l'ensemble des solutions à l'aide du graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C déterminés par le couple de leurs coordonnées:
\begin{center}A(1~;~6),\qquad B$(- 2~;~3)$,\qquad C(6~;~1).\end{center}

Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (A,B,C) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées de I, milieu de (B, C).
\item Vérifier par le calcul que I est équidistant de A, B et C.
\item Calculer les coordonnées de D tel que (A, C, D, B) soit un rectangle.
\item M étant le milieu de (A, C), démontrer que la droite (IM) est médiatrice de [AC].
\item Trouver une équation de la droite (IM) ; en déduire que (IM) contient l'origine des coordonnées, O.

Démontrer d'une autre manière que O appartient à (IM).
\item Par la symétrie de centre M, B a pour image E.

Démontrer que E appartient à la droite (DC).
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BCA}}$ puis de l'angle géométrique $\widehat{\text{DAC}}$.

Que peut-on conclure pour $\widehat{\text{BCA}}$ et $\widehat{\text{DAC}}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}