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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions polynômes:
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&2x^2 - 18 - (x - 3)(x + 4)\\
g(x) &=&3x^2 + 12x + 12 - (x - 1)(2x + 4).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par:
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Donner, en précisant l'ensemble de définition, une écriture plus simple de $h(x)$.
\item Calculer $h\left(- \dfrac52\right),\: h\left(3\sqrt 7\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, on considère les points
A, B, C définis par :
\[\vect{\text{OA}}(0~;~5) \qquad \vect{\text{OB}}(-3~;~4) \qquad \vect{\text{BC}}(6~;~- 8).\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer D tel que (A, S, C, D) soit un parallélogramme. 

Préciser la position de O par rapport à B et C.
\item Soit N le milieu de [A,D]. Déterminer la nature exacte du quadruplet (O, A, N, C).
\item Démontrer que le triplet (A, B, C) est rectangle en A.

Quel est le centre de son cercle circonscrit (cercle contenant A, B, C) ?
\item $a$ désignant l'écart angulaire en degré de $\widehat{\text{ACB}}$ déterminer $\sin a$ puis, sachant que $3,16 < \sqrt{10} < 3,17$, donner à un degré près la valeur de $a$,
\item Soit G le centre de gravité du triplet (A, B, C).

Montrer que B, G, D sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}