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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les applications, de $\R$ vers $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(3x -5)^2 - (1 - x)^2,\\
g(x)&=&(x - 2)^2 + 7x - 14.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0),\: f\left(\dfrac13\right),\: g\left(\sqrt 2\right)$ et $g(2,1)$.
\item Démontrer que $f$ est une fonction polynôme du deuxième degré.
\item Factoriser $f(x)$, puis $g(x)$.
\item On considère la fonction $h$, de $\R$ vers $\R$, définie par

\[h(x) = \dfrac{(4x - 6)(2x - 4)}{(x - 2)(x +5)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}_h$ de $h$ ?
		\item Le réel $x$ appartenant à $\mathcal{D}_h$, simplifier l'écriture de $h(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$,\:$h(x) = \dfrac13$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé
\Oij{} on considère les points :
\begin{center}A(- 3~;~5)\:;\quad B(5~;~6)\:;\quad C$(9~;~-1)$\:;\quad D$(1~;~-2)$ \quad et \quad E(6~;~8).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure qui devra être complétée par la suite.

Quelles sont les coordonnées du milieu I de (A, C) ?
\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme. Quel est son centre ?
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{IA}}$ et $\vect{\text{IB}}$ sont orthogonaux.

Qu'en déduit-on quant à la nature du quadruplet (A, B, C, D) ?

Que représente la droite (BD) pour le segment [AC] ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le vecteur $\vect{\text{BD}}$ en fonction de $\vect{\imath}$ et de $\vect{\jmath}$.
		\item Déterminer une équation de la droite (BD).
		\item Montrer que les points B, E et D sont alignés (il
n'est pas nécessaire d'avoir trouvé l'équation de (BD) pour répondre).
		\item Déterminer le point d'intersection F de (BD) avec l'axe $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les points A, E, C et F sont sur un même cercle de centre I dont on calculera le rayon.

Quelle est la nature du quadruplet (A, E, C, F) ?
\end{enumerate}

\textbf{N. B.} - {\small La question 4. est indépendante des trois premières.}
\end{document}